最小费用流：建模，拓展⚓︎

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最小费用流问题（Minimal Cost Flow Problem）在网络最优化问题中占有核心地位。可以表述如下：

给定图 \(G(V,E)\)，对每个节点 \(v_i\) 均给定实数 \(b_i\)，如果 \(b_i > 0\)，那么称 \(b_i\) 为发点，可以供给资源，\(b_i\) 的值为该点的供给量。如果 \(b_i < 0\)，那么称 \(b_i\) 为收点，需要接收资源， \(-b_i\) 为该点的需求量。若 \(b_i = 0\)，那么称 \(b_i\) 为转运点。

对于每条边 \(e_j\)，给定实数 \(c_j\)，它是在边 \(e_j\) 上每单位流量的费用，称为费用系数。再给定正数 \(u_j\)，它是边 \(e_j\) 上流量的上界。

最小费用流的问题就是要确定每个边上的流量 \(x_j\)，使得不超过上界限制，并满足各个节点的供需要求，同时又使得总费用最小。对于网络，我们引入一个 \(m \times n\) 的矩阵 \(A\)。其中每个元素按照如下标准取值：

\[\begin{aligned}\begin{equation*}
a_{ij} = \begin{cases}
1, \hspace{10pt} \text{if } e_j \quad \text{starts from} \quad v_i \\
-1, \hspace{10pt} \text{if } e_j \quad \text{ends at} \quad v_i \\
0, \hspace{10pt} \text{Otherwise}
\end{cases}
\end{equation*}\end{aligned}\]

写成矩阵形式，如下：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 & 0 &  0 & 0 & 0 \\  0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\]

即可表示如图的网络。

flowchart LR
    1-- (1,2) --->2
    1-- (1,3) --->3
    1-- (1,5) --->5
    2-- (2,3) --->3
    2-- (2,4) --->4
    3-- (3,4) --->4
    5-- (5,3) --->3
    5-- (5,4) --->4

在前面介绍最短路问题的时候，我们也出现了这个矩阵，一般称之为节点-边关联矩阵（Node-edge incidence matrix）。

事实上，最小费用流模型可以视为一种基于边的建模方式。由于上述矩阵的列数 = 边数，所以假设我们的决策变量是针对每一条边而言的，那么关联矩阵乘决策向量，正好构成了约束条件的左端项，同时约束条件的个数也就对应了节点个数，可以用此刻画节点中的流量关系。以矩阵乘法形式给出就是：

\[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 1 & 0 &  0 & 0 & 0 \\  0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_8 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ b_5 \end{bmatrix}\]

节点-边关系矩阵

\(m \times n\) 的矩阵，行表示节点，列表示边。

对每一列而言，有且仅有一个1和一个-1，1表示从该节点出发，-1表示到该节点。0表示与该节点无关。

对每一行而言，可能有多个1和多个-1，因为一个节点可能有多条边出发/到达，1的个数，表示从该节点出发的边数（出度）；-1的个数，表示到达该节点的边数（入度）。

于是，我们给出最小费用流的数学模型：

\[\min \mathbf{cx}\]

\[\begin{aligned}
\begin{cases}
\begin{align}
\mathbf{Ax} = \mathbf{b} \quad\\
\mathbf{0} \leq \mathbf{x} \leq \mathbf{u} \quad
\end{align}
\end{cases}
\end{aligned}\]

其中，\(\mathbf{A}\) 就是节点-边关系矩阵，\(\mathbf{x}\) 是边的流量向量，长度等于边的数量； \(\mathbf{b}\) 是每个节点的供求向量，长度等于节点的数量。\(\mathbf{u}\) 是边的流量限制向量，限制每条边的流量大小。

对于约束 (1) 中的每一个约束，可以表示为：

\[\sum \limits_{j \in E} a_{ij} x_j = b_i , \forall i \in V\]

实际上，左边就是：

\[\sum \limits_{j \in E} a_{ij} x_j = \sum \limits_{a_{ij} = 1} x_{j} - \sum \limits_{a_{ij} = -1} x_j  , \forall i \in V\]

（因为如果 \(a_{ij} = 0\)，就不会出现 \(x_j\) ）。

等式右边的第一个和式，对应的是所有从 \(v_j\) 离开的流量；第二个和式，对应所有汇入 \(v_j\) 的流量。

不失一般性，我们可以假设供求总是平衡的，也就是 \(\sum_{i \in V} b_i = 0\)，对于供大于求的图 (\(\sum_{i \in V} b_i > 0\))，可以设置一个虚拟节点，吸收全部的过剩供给量，从每个发点添加一个虚拟边到这个虚拟节点，这个虚拟边的费用是0。这样就转化为一个供求平衡的最小费用流问题。

最小费用流问题是网络流问题的重要基础，事实上，许多问题均可以被转化为这类问题，或者是最小费用流问题的一个特例。下面展开几个例子。

从最小费用流到运输问题⚓︎

运输问题，具体的问题描述同样可以参考第三章。这里简要复习一下。

运输问题

给定一张图\(G(V,E)\)，所有节点分为供给节点和需求节点两类。各个供给节点之间没有边相连，各个需求节点之间也没有边相连，但是供给和需求节点之间可以相互抵达。以图论的概念表示，网络图就是一个Bipartite Graph（二分图，概念的具体解释见本笔记最后）。

问题:我们需要在事先给定运费和供给量的情况下，规划从不同供给节点到不同需求节点运送的货物量，使得总运输成本最小，同时还能满足所有需求节点的需求。

在第三章，我们已经给出了运输问题在供需平衡下的建模，由于我们考虑的是不带转运的运输问题，因此建模如下：

\[\mathop{\min} \hspace{4pt} z = \sum \limits^{m}_{i = 1} \sum \limits^{n}_{j = 1} c_{ij}x_{ij}\]

\[s.t \hspace{4pt} \left\{ \begin{aligned} \sum \limits^{n}_{j=1} x_{ij} = a_i , i = 1,2,..,m \\ \sum \limits^{n}_{i=1} x_{ij} = b_j , j = 1,2,..,n   \\  x_{ij} \geq 0, i = 1,2,...m, j = 1,2...n  \end{aligned}  \right.\]

这里的决策变量 \(x_{ij}\) 是基于节点的，表示从 \(i\) 地到 \(j\) 地的流量。我们同样可以基于最小费用流模型框架给出模型，差异在于，基于最小费用流模型的决策变量是基于边的。 \(y_{ij}\) 表示边 \((i,j) \in E\) 从 \(i\) 流到 \(j\)的流量。我们保持节点-边关系矩阵 (incidence-matrices)不变，作为系数矩阵， \(c_{ij}\) 表示边 \((i,j)\) 上的运输成本。所以可以给出等价模型：

\[\mathop{\min} \hspace{4pt} z = \sum \limits_{(i,j) \in E} c_{ij} y_{ij} \]

\[\begin{aligned}
\begin{cases}
\begin{align}
\sum \limits_{ (i, j) \in E} y_{ij} - \sum \limits_{(j, i) \in E} y_{ji} = d_i, \quad \forall i \in V \\
y_{ij} \geq 0, \quad \forall (i,j) \in E
\end{align}
\end{cases}
\end{aligned}\]

这里的右端项 \(d_i\) 表示：运输问题下，节点 \(i\) 的需求情况。由于节点区分供给点和需求点，因此，有如下情形：

如果 \(i\) 是供给点，记该点的供给量为 \(a_i\)，则 \(d_i = a_i\)；
如果 \(i\) 是需求点，记该点的需求量为 \(b_i\)，则 \(d_i = -b_i\)。

事实上，基于此，我们也可以很容易地写出基于边的建模框架下，带转运的运输问题的模型。

解答

实际上，你只需要更改一下 \(d_i\) 的定义即可，除了收地、发地外，还要考虑中转地，中转地不存储货物，因此中转点的 \(d_i = 0\)，也就是流平衡约束。

从最小费用流到指派问题⚓︎

指派问题可以视为运输问题的一个特例，实际背景是把 n 个活分配给 n 个人去做，每个人做不同工作有不同的时间，每个人都做一个工作，使得总时间最少。

上面已经写了最小费用流 -> 运输问题，只需要稍微修改就可以得到分配问题的建模。

限制每个节点的供给/需求量都是1，每个边上的流量只能为0或者1.

从最小费用流到最短路问题⚓︎

从最小费用流模型也可以推导出最短路问题的建模。一句话概括一下最短路：

已知一个网络上各边长度，要求出从图上给定的节点 \(v_s\) 到节点 \(v_t\) 的最短路径。

事实上，只需要把最小费用流的系数 \(c_{ij}\) 换成边 \((i,j)\) 的长度。令右端项中 \(b_s = 1, b_t = -1\)，其他 \(b_i = 0\)，就得到了最短路问题的模型。这其实就是限制了除了起点和终点外其他节点都视为转运点。各个边上的流量上界 \(u_{ij}\) 取 1。这样就得到了最短路问题的建模。这个建模可以参考第七章：最短路问题 .

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从最小费用流到最大流问题⚓︎

从最小费用流模型也可以推导出最大流问题的建模。一句话概括一下最大流：

已知一个网络上各边的流量上界，每个边的流量不得超过这个界限。要求出从图上给定的节点 \(v_s\) 到节点 \(v_t\) 的最大流量。

看起来不怎么相关的问题，也可以转化为最小费用流进行计算。

flowchart LR
    1-- (1,2,5) --->2
    1-- (1,3,4) --->3
    1-- (1,5,9) --->5
    2-- (2,3,7) --->3
    2-- (2,4,3) --->4
    3-- (3,4,8) --->4
    5-- (5,3,3) --->3
    5-- (5,4,1) --->4
    4-. (4,1) -.->1

我们先令原来网络中所有边的费用系数向量 \(\mathbf{c} = \mathbf{0}\)，令供求向量 \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\)。此时，我们添加一条虚拟边 \(e_{n+1}\)，从终止节点 \(v_t\) 通往 \(v_s\)。这条边上的流量没有上界限制，其费用系数为负数，设为 \(-1\)。

此时，求解包括这个虚拟边的新图的最小费用流问题。因为虚拟弧的边权（费用系数）是负数，所以当目标函数最小的时候，这条边上的流量也就达到最大了。同时，由于 \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\),意味着所有节点的流入和流出的流量是相等的（包括起点和终点，与之不同的，最小费用流问题的起终点的流量不为0）。

上述建模方式，实际上是，虚拟边流入节点 \(v_s\) 的流量就要在原来的网络上以零费用返回节点 \(v_t\)，也就是说只要不超过各边的流通能力，从 \(v_s\) 到 \(v_t\) 的流量越大。

最小费用流问题的对偶⚓︎

我们定义一个最大加权闭包问题（Maximum weight closure Problem）。首先我们给定一张图：\(G = (N, A)\)，每个节点 \(i\) 有一个权重 \(w_i\).

我们定义一个图的闭包（Closure）是：

一个节点的集合 \(S \subseteq N\)，且原图中没有任意一个边流出这个节点集合。也就是说，如果 \(i \in S\), 且 \((i, j) \in A\)，那么 \(j \in S\).

此时我们的最大加权闭包问题，就是给定一张图，找到它的一个最大的加权闭包。其数学模型为：

\[\max \sum_{i \in N} w_i y_i\]

s.t.

\[\begin{aligned}
\begin{cases}
y_i - y_j \leq 0 \qquad \forall (i, j) \in A \\
0 \leq y_i \leq 1 \qquad \forall i \in N
\end{cases}
\end{aligned}\]

其中，\(y_i\) 表示是否选节点 \(i\).