车辆路径问题（VRP）｜拓展问题｜求解算法等⚓︎
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建模篇⚓︎
Start from the easiest!⚓︎
VRP⚓︎
| Notations | Meanings |
|---|---|
| \(i , j, h\) | 节点索引 |
| \(k\) | 车辆索引 |
| \(0,n + 1\) | depot，终点depot索引 |
| \(x_{ijk}\) | 决策变量，0-1binary， \(k\) 车是否经过边\((i,j), i \neq j\) , |
| \(c_{ij}\) | 车辆 \(k\) 经过边 \((i,j)\) 的成本 |
| \(\mu_{ij}\) | MTZ 约束的辅助变量 |
| \(V\) | 节点集合 |
| \(A\) | 所有边的集合 |
| \(K\) | 所有车辆的集合 |
| \(C\) | 所有客户点的集合 |
\[\min \sum \limits_{k \in K} \sum \limits_{i \in V} \sum \limits_{j \in V} c_{ij} x_{ijk}\]
\[\text{s.t.} \begin{aligned}
\begin{cases}
\begin{align}
\sum \limits_{k \in K} \sum_{j \in V} x_{ijk} & = 1 ,\quad \forall i \in C \quad \\
\sum \limits_{k \in K} x_{0jk} & = 1, \quad \forall k \in K \quad \\
\sum \limits_{i \in V} x_{i (n+1) k} & = 1, \quad \forall k \in K \quad \\
\sum \limits_{i \in V} x_{ihk} - \sum \limits_{j \in V} x_{hjk} & = 0, \quad \forall h \in C, \forall k \in K \quad \\
\mu_{ik} - \mu_{jk} + N x_{ijk} & \leq N - 1, \quad \forall i \in V / \{n+1\}, \quad \forall j \in V / \{0\} , \forall k \in K \quad \\
x_{ijk} \in \{0, 1\}, & \quad \forall (i, j) \in A, \forall k \in K \quad \\
\end{align}
\end{cases}
\end{aligned}\]
CVRP⚓︎
| Notations | Meanings |
|---|---|
| \(i , j, h\) | 节点索引 |
| \(k\) | 车辆索引 |
| \(0,n + 1\) | depot，终点depot索引 |
| \(x_{ijk}\) | 决策变量，0-1binary， \(k\) 车是否经过边\((i,j), i \neq j\) , |
| \(c_{ij}\) | 车辆 \(k\) 经过边 \((i,j)\) 的成本 |
| \(\mu_{ij}\) | MTZ 约束的辅助变量 |
| \(V\) | 节点集合 |
| \(A\) | 所有边的集合 |
| \(K\) | 所有车辆的集合 |
| \(C\) | 所有客户点的集合 |
| \(q_i\) | (new added!) 客户 \(i\) 处的需求 |
| \(Q\) | (new added!) 车容量 |
\[\min \sum \limits_{k \in K} \sum \limits_{i \in V} \sum \limits_{j \in V} c_{ij} x_{ijk}\]
\[\text{s.t.} \begin{aligned}
\begin{cases}
\begin{align}
\sum \limits_{k \in K} \sum_{j \in V} x_{ijk} & = 1 ,\quad \forall i \in C \quad \\
\sum \limits_{k \in K} x_{0jk} & = 1, \quad \forall k \in K \quad \\
\sum \limits_{i \in V} x_{i (n+1) k} & = 1, \quad \forall k \in K \quad \\
\sum \limits_{i \in V} x_{ihk} - \sum \limits_{j \in V} x_{hjk} & = 0, \quad \forall h \in C, \forall k \in K \quad \\
\mu_{ik} - \mu_{jk} + N x_{ijk} & \leq N - 1, \quad \forall i \in V / \{n+1\}, \quad \forall j \in V / \{0\} , \forall k \in K \quad \\
\sum \limits_{i \in C} \sum \limits_{j \in V} q_i x_{ijk} & \leq Q, \quad \forall k \in K \quad {\color{red}\text{Capacity Constr!}}\\
x_{ijk} \in \{0, 1\}, & \quad \forall (i, j) \in A, \forall k \in K \quad \\
\end{align}
\end{cases}
\end{aligned}\]
CVRPTW⚓︎
| Notations | Meanings |
|---|---|
| \(i , j, h\) | 节点索引 |
| \(k\) | 车辆索引 |
| \(0,n + 1\) | depot，终点depot索引 |
| \(x_{ijk}\) | 决策变量，0-1binary， \(k\) 车是否经过边\((i,j), i \neq j\) , |
| \(c_{ij}\) | 车辆 \(k\) 经过边 \((i,j)\) 的成本 |
| \(V\) | 节点集合 |
| \(A\) | 所有边的集合 |
| \(K\) | 所有车辆的集合 |
| \(C\) | 所有客户点的集合 |
| \(q_i\) | 客户 \(i\) 处的需求 |
| \(Q\) | 车容量 |
| \(s_{ik}\) | (new added!) 时间戳辅助变量，非负 |
| \(e_i, l_i\) | (new added!) \(i\) 节点的时间窗下/上界 |
| \(t_{ij}\) | (new added!) 经过边 \((i,j)\) 所花的时间 |
| \(M\) | (new added!) 一个极大值，下界为 \(\max \{ l_i - e_j + t_{ij}\}\) |
\[\min \sum \limits_{k \in K} \sum \limits_{i \in V} \sum \limits_{j \in V} c_{ij} x_{ijk}\]
\[\text{s.t.} \begin{aligned}
\begin{cases}
\begin{align}
\sum \limits_{k \in K} \sum_{j \in V} x_{ijk} & = 1 ,\quad \forall i \in C \quad \\
\sum \limits_{k \in K} x_{0jk} & = 1, \quad \forall k \in K \quad \\
\sum \limits_{i \in V} x_{i (n+1) k} & = 1, \quad \forall k \in K \quad \\
\sum \limits_{i \in V} x_{ihk} - \sum \limits_{j \in V} x_{hjk} & = 0, \quad \forall h \in C, \forall k \in K \quad \\
s_{tk} + t_{ij} - M (1 - x_{ijk}) & \leq s_{jk} \quad \forall (i,j) \in A, \forall k \in K \quad {\color{red}\text{TW Constr!}}\\
e_i \leq s_{ik} & \leq l_i \quad \forall i \in C, \forall k \in K \quad {\color{red}\text{TW Constr!}}\\
\sum \limits_{i \in C} \sum \limits_{j \in V} q_i x_{ijk} & \leq Q, \quad \forall k \in K \quad \\
x_{ijk} \in \{0, 1\}, & \quad \forall (i, j) \in A, \forall k \in K \quad \\
\end{align}
\end{cases}
\end{aligned}\]
注意在时间窗约束的情况下，不需要考虑去子环了，因为时间窗本来就带有去子环的效果，卡车经过的每一个节点都被赋予一个时间变量。这个变量随着车的运行会严格递增。因此首尾相接的情况必定不会存在。
Set partitioning formulation⚓︎
-
记 \(\mathcal{R}\) 表示所有可行的路径的下标集合。
-
记 \(a_{i \ell}\) 是一个 0-1 Binary的系数，如果第 \(i \in V\) 个节点属于第 \(\ell \in \mathcal{R}\) 个路径。
-
每个路径 \(\ell \in \mathcal{R}\) 有一个对应的成本 \(c_{\ell}\)
-
记 \(\xi_{\ell}\) 是 0-1 Binary, 如果路径 \(\ell \in \mathcal{R}\) 在最终解中。
由此可以构建基于集合分割的建模方式。
\[\begin{aligned}
\min & \quad \sum_{\ell \in \mathcal{R}} c_{\ell} \xi_{\ell} \\
\text{s.t.} & \quad
\begin{cases}
\begin{align}
\sum_{\ell \in \mathcal{R}} a_{i\ell} \xi_{\ell} = 1, \quad \forall i \in \mathcal{V}_c \quad \\
\sum_{\ell \in \mathcal{R}} \xi_{\ell} = M \quad \\
\xi_{\ell} \in \{0,1\}, \quad \forall \ell \in \mathcal{R} \quad
\end{align}
\end{cases}
\end{aligned}\]
注意了，为什么这里没有去子环约束，是因为最开始的“可行路径的下标集合”已经约束了这个路径一定要是可行的（从depot到depot）。
这个建模的方法，很适合“分枝定价”去精确地求解车辆路径问题。这个解法的子问题就是生成一些可行的路径，加入到所有的可行路径中。而这个子问题本身是在求一个“资源限制情况下的最短路问题”。
Benchmark⚓︎
话不多说，直接上链接：
- SINTEF: 维护了两个经典的数据集，VRPTW的Solomon数据集、 G & H数据集，以及PDPTW的Li & Lim 数据集。
- Benchmark Update：同上团队维护，及时更新目前每个Case的最新找到的最优解，包括最新Improve是在什么时候找到的，什么团队找到的等。
- Vidal's Site:还是要抱紧大佬大腿，看看人家是怎么整合资料的。
- Uchoa's dataset： Focus 在大规模CVRP问题，同时作者的paper做了一些很有意义的关于benchmark的总结;
其他类型的拓展⚓︎
注意，VRP问题很经典的一个做法（其实也是优化领域很多paper的做法）就是不断加约束。所以，这部分不会专注于具体的问题模型简写是什么，而专注于“新约束的意义” ，比如这个约束和其他的不同在哪里，代表了什么等。实际上，这些所有的约束都可以和前面所谓的“Time window”、“capacity”等结合起来看。也正因此，下面的问题会忽略 TW 以及 Capacity 约束。
关于扩展的综述
- 可以参考一下TS的这篇：
Jan Christiaens, Greet Vanden Berghe (2020) Slack Induction by String Removals for Vehicle Routing Problems. Transportation Science
Backhauls：取货完后再送货⚓︎
送货后取货问题。其实和取送货问题(Pickup and Delivery Problem)非常类似，但是又有不同。区别在于：
本问题下，不再是以“订单”来衡量了，而是回到了“顾客”，不考虑“订单”区分起终点的概念了。但是顾客的属性有区别。有一些是 linehauls 顾客，有一些是 backhauls 顾客。我们必须先从depot拿货物运给 linehauls 顾客，直到服务完所有的 linehauls 顾客后，再去服务 backhauls 顾客，从这些顾客处取。是一个先送后取的过程。
同样地，每一个顾客都有时间窗，每一个顾客都有载重量。车辆也有载重量。
图中的
L就是先访问的linehauls，B是后访问的backhauls顾客们。
建模略。因为你可以通过定义边的集合，约束边的情况，其他的约束等，照搬整个VRPTW的模型，是一样的。参考文献：İlker Küçükoğlu, Nursel Öztürk,An advanced hybrid meta-heuristic algorithm for the vehicle routing problem with backhauls and time windows, Computers & Industrial Engineering,Volume 86,2015,Pages 60-68,ISSN 0360-8352
PDVRP (Pickup and Delivery Vehicle Routing Problem)⚓︎
乍一看，和PDPTW这类的问题有什么区别？
确实没什么区别，区别在于修改了每个顾客节点的重量的情况：某个节点，允许顾客有pickup的需求，或者delivery的需求。建模时候，定义顾客节点的取货重量、送货重量即可。很容易。
一个可能的，与其他取送货问题结合的场景，就是，既有PDP中“订单起终点”概念（某几个节点必须先后访问），又包含单个顾客“Pickup 需求，delivery需求”的混合取送货场景。可以参考 Meng, S., Guo, X., Li, D., & Liu, G. (2023). The multi-visit drone routing problem for pickup and delivery services. Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review, 169, 102990.
Two-Echelon VRP⚓︎
两阶段配送VRP。前两年曾经被不少人搞过。目前快被吃烂了。所以很适合被放到我们这个笔记中珍藏起来。嘿嘿！
这里正好说一个自己的私货。我觉得这种两阶段的VRP系统的建模与分析特别契合“多式联运”的主题。Therefore, 还是值得看一看的。
工具篇⚓︎
未完待续 ...
好。最喜欢的部分。因为可以直接放链接。但是在开始之前，还得感谢链接的链接: 小马过河老师的几个推文。本部分的整理十分依赖于他的这个文章！最新的几个VRP问题求解的开源工具。
各种库⚓︎
启发式算法部分：(标记符号表示我曾经使用过/正在使用)
- PyVRP。Python 上能整出这种好活确实是会整活的。工程细节等，参考 IJOC 的这个Paper：
Wouda, N.A., L. Lan, and W. Kool (2024). PyVRP: a high-performance VRP solver package. INFORMS Journal on Computing, 36(4): 943-955. https://doi.org/10.1287/ijoc.2023.0055 - ORTools VRP toolkit。属实是真·开箱即用。支持多种约束。Ortools的经典版本。新手摸一摸，熟悉熟悉，跑跑数值试验，都是可以的。
- HGS-CVRP。Vidal 大佬的，用C++写的，用来针对CVRP而设计。提供了Python的Wrapper，PyHygese但是似乎不是很理想。一个很感兴趣的方法。混合遗传搜索
(HGS)。目前启发式SOTA看到几个都是基于此的。文章见Hybrid genetic search for the CVRP: Open-source implementation and SWAP* neighborhood。 - Filo2:专门为解决极大的CVRP问题（有数十万顾客节点）而设计的一个启发式算法库。特点是采用了非常快速、非常高效的邻域搜索技术。
精确式算法部分：
如果想要彻底搞清楚精确式求解算法以及对应的细节等，首先你可以先看看发在MP上的这个文章（过于牛了）
A generic exact solver for vehicle routing and related problems.
不仅求解了VRP问题，还探讨（并求解了！！）很多类似的复杂组合优化问题。具体有多少还是移步链接查看吧。
- VRPSolveEasy ：专注于精确式解法的VRP仓库。作者的技术报告参考：
N. Errami, E. Queiroga, R. Sadykov, E. Uchoa. "VRPSolverEasy: a Python library for the exact solution of a rich vehicle routing problem", Technical report HAL-04057985, 2023.。