高等数学⚓︎

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总结：看一下这个链接，置顶感谢🙏

2024.06.12 备注：这部分笔记是“中国教材特供版”。主要是基于NJU的Calculus教材做的一些纯公式和概念的整理。目前没有什么好办法整理这些东西，暂时空置。可能会在后续删除。

函数：

基本初等函数：

复合函数 -> 隐函数

极限：（左极限/右极限） -> 连续 -> 可导 -> 可微

函数、极限、连续⚓︎

函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性⚓︎

有界性： $f(x) \leq M， M \in R$
奇/偶函数：定义域为关于原点对称的数集
周期函数：定义域$(-\infty , + \infty)$

复合函数、分段函数的概念⚓︎

复合函数：$y$是$u$的函数，满足$y = f(u)$，如果$u$是$x$的函数，$u = \varphi (x)$，并且 $\varphi (x)$ 的值全部或者部分在$f(u)$的定义域内，那么 $y = f(\varphi (x))$为复合函数；
- 增减性：同增异减
- 求导：链式法则： $f'(x) = f'(u) u'(x)$
分段函数：对自变量x取值不同因变量y有不同的解析式；

反函数、隐函数的概念⚓︎

反函数：一般来说，设函数$y=f(x)(x \in A)$的值域是$C$，若找得到一个函数$g(y)$在每一处$g(y)$都等于$x$，这样的函数$x = g(y)(y \in C)$叫做函数$y=f(x)(x \in A)$的反函数，记作$x=f^{-1}(y)$ 。反函数$x=f^{-1}(y)$的定义域、值域分别是函数$y=f(x)$的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。
隐函数：如果方程$F(x,y)=0$能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，$y = f(x)$是显函数。
- 隐函数求导法则：在方程左右两边都对$x$进行求导（求微分），由于$y$是$x$的函数，所以可以得到带$y^{'}$的一个表达式； > 隐函数求导首先是基于复合函数求导而来的，因为“需要把$y$看作$x$的一个函数”，这个行为就相当于建立了一个复合函数；
- 在微分后的方程中求解$y^{'}$即可；
  - $\sin(x + y) = y^{2} \cos(x)$，求$y^{'}$
- 举个例子，若欲求$z = f(x,y)$的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为$f(x,y,z) = 0$的形式，然后通过（式中$F'y$,$F'x$分别表示$y$和$x$对$z$的偏导数）来求解。
初等函数的性质、图形、初等函数的概念
✅ 极限的概念、左极限、右极限、函数极限存在和左极限、右极限的关系
- 函数的左极限：函数$f(x)$ 在点$x_0$ 的左邻域（也可不包括$x_0$)有定义，设$A$是一个确定数字，如果对于任意给定的 $\epsilon > 0$，总存在 $\sigma > 0$，当存在 $0 < x_0 - x < \sigma$，总存在 $| f(x) - A | < \varepsilon$，我们就把$A$称作$f(x)$的左极限；
- 函数的右极限：函数$f(x)$ 在点$x_0$ 的右邻域（也可不包括$x_0$)有定义，设$A$是一个确定数字，如果对于任意给定的 $\epsilon > 0$，总存在 $\sigma > 0$，当存在 $0 < x - x_0 < \sigma$，总存在 $| f(x) - A | < \varepsilon$，我们就把$A$称作$f(x)$的左极限；
- 函数极限的定义：函数$f(x)$ 在点$x_0$ 的附近（也可不包括$x_0$)有定义，设$A$是一个确定数字，如果对于任意给定的 $\epsilon > 0$，总存在 $\sigma > 0$，当存在 $0 < | x - x_0 | < \sigma$，总存在 $| f(x) - A | < \varepsilon$，我们就把$A$称作$f(x)$的极限；
- 函数极限存在，等价于函数的左右极限都存在并且相等；

极限的性质、四则运算法则⚓︎

极限的性质：
- 收敛数列的极限唯一；
- 收敛数列一定有界，但是有界的不一定收敛$((-1)^{n})$
- 收敛数列具有保号性，如果数列极限$a > 0$，那么一定存在一个 $N$，使得$n > N$的时候，对于任意$a_n$ ，都有 $a_n > 0$;
- 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限；
极限的四则运算：
- 以下准则对于 $x \to x_0$ 和 $x \to \infty$ 均成立
- $\mathop{\lim} f(x) = A, \mathop{\lim} g(x) = B$，那么$\mathop{\lim} f(x) \pm g(x) = A \pm B$
- $\mathop{\lim} f(x) = A, \mathop{\lim} g(x) = B \neq 0$，那么$\mathop{\lim} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{A}{B}$
- $\mathop{\lim} f(x) = A, \mathop{\lim} g(x) = B$，那么$\mathop{\lim} f(x)g(x) = AB$

极限存在的两个准则、用准则求极限、用两个重要极限求极限的方法⚓︎

极限存在的准则：
- 夹逼准则： $X \leq Y \leq Z, \lim X = \lim Z
- = k$，那么 $\mathop{\lim} Y = k$;
- 单调有界准则：上有界的增加数列与下有界的减少数列均收敛（即单调有界数列必收敛）
两个重要极限求极限的方法
- $\mathop{\lim} \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1$，推广:$\mathop{\lim} \limits_{\varphi (x) \to 0} \dfrac{\sin(\varphi (x))}{\varphi (x)} = 1$
- $\mathop{\lim} \limits_{x \to \infty} (1 + \dfrac{1}{x})^x = e$

无穷小量、无穷大量、无穷小量的比较方法、用等价无穷小求极限⚓︎

无穷小量就是变量趋近某值时，极限为0的函数；
无穷大量就是～～～～极限为0的函数；
高阶无穷小量：当 $f(x)$ 和$g(x)$都是无穷小量，$\mathop{\lim} \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} =0$，就称$f$是$g$的高阶无穷小；$g$是$f$的低阶无穷小；
同阶无穷小：当 $f(x)$ 和$g(x)$都是无穷小量，$\mathop{\lim} \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = c, c \neq 0$，就称$f$和$g$是 $x \to x_0$的同阶无穷小；
等价无穷小：当 $f(x)$ 和$g(x)$都是无穷小量，$\mathop{\lim} \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$，就称$f$和$g$是 $x \to x_0$的等价无穷小；
几个经典的等价无穷小：
- $\sin (x) \sim x$,
- $\ln(1 + x) \sim x$,
- $\tan (x) \sim x$，
- $1 - \cos (x) \sim \dfrac{1}{2}x^2$
- 等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换；

函数连续性的概念（左连续、右连续）、判断间断点的类型⚓︎

函数的左连续：如果函数在某点的左极限存在并且等于该点的函数值，那么函数左连续；
函数的右连续：如果函数在某点的右极限存在并且等于该点的函数值，那么函数右连续；
函数的连续性（增量形式/ $\epsilon - \sigma$ 形式/极限形式）：设函数 $y = f (x)$在点$x$的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量$\Delta x$趋近于零时，相应函数的改变量$y$也趋近于零 $\mathop{\lim} \limits_{x \to 0} f(x + \Delta x) - f(x) = 0$，则称 $y = f (x)$ 在点 $x$ 处连续；函数连续，当且仅当它在x处左右连续；
间断点类型：
- 第一类间断点（存在极限但是不相等/不等于该处的值）：
  - （可去间断点）如果$\mathop{\lim} \limits_{x \to x_0} f(x) = A$，但是$f$在$x_0$处没有定义或者有定义但是值不为$A$，就把$x_0$称为～；
  - （跳跃间断点）如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左右极限都存在，但是极限不相等；
- 第二类间断点（有地方不存在极限）：
  - $f(x)$ 在 $x_0$ 处左右至少有一处极限不存在的点，就是第二类间断点；

连续函数的性质、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理）、介值定理⚓︎

介值定理：又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为$[a，b]$的连续函数$f$，那么在区间内的某个点，它可以在 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间；

一元函数微分学⚓︎

Abstract

如果函数在某点左右导数存在且相等，同时函数在该点连续，那么这个函数在该点是可导的。 - 左导数：函数$f(x)$在某点 $x0$ 的某一左半邻域$（x0-d,x0）$内有定义，当$x$从左侧无限趋近于0时，$\dfrac{f(x_0 + x) - f(x_0)}{ x}$的左极限存在，那么就称函数$f(x)$在$x_0$点有左导数，该极限值就是左导数的值。 - 右导数：同样的定义。

我们通过左右导数 + 连续给出了导数；

导数和微分的概念、导数和微分的关系、导数的几何意义、平面曲线的切线方程和法线方程、导数的物理意义（物理量）、理解函数的可导性和连续性的关系；⚓︎

Tip

这个知乎链接给到很好的分析，特此感谢🙏 链接

导数等于函数增量 $y$ 与 $x$ 比值的极限；如果不存在极限，那么不可导，否则可以；
连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可导；连续不一定可导；
导数的几何意义：在一点处的导数即为该点处切线的斜率；

函数的图像要是光滑的，不可以带“尖”，图像的切线不能够垂直于X轴；

微分的概念：设函数$y=f(x)$在点$x$的某个邻域内有定义，如果当自变量在点$x$处取得改变量$x$，$y=f(x)$相应的改变量$\Delta y=f(x+\Delta x) - f(x)$可表示为：$\Delta y=A\Delta x+Ο(\Delta x)$, 其中$A$与$\Delta x$无关，$Ο(\Delta x)$是当$\Delta x \to 0$是比$\Delta x$高阶的无穷小量，则称$f(x)$在点$x$处可微，并称$A\Delta x$为函数$f(x)$在点$x$处的微分，记为:$dy=A\Delta x$
导数和微分的关系：把上述$\Delta y=A(x)\Delta x+Ο(\Delta x)$两边同时除以 $\Delta x$，两边同时取极限，正好就是导数的公式，得到导数为A；
- 导数是函数在某点的变化率；是切线的斜率；
- 微分是曲线在该点纵坐标的增量；$dy = f^{'}(x) dx$；
- 微分：$y = A x + o(x)$，可以看图；
- 在一元函数下，可微和可导等价，可微表示所有维度下，导数存在；考虑一般性的话，可微一定可导，但是可导不一定可微；
- 如果在某点可微，那么一定连续、一定可导；
  
  微分的意思是因变量的增量 $y$ 是自变量增量 $x$ 的线性函数，微分实际上是自变量增量的一个近似值； $f(x)$在$x = x_0$ 处可微，代表$f(x)$在$x_0$处的切线$g(x)$在$x_0$附近一个非常小的范围内的值和$f(x)$在$x_0$ 附近一个非常小的范围内的值足够接近，以至于可以用$g(x)$的近似值来拟合$f(x)$的实际值；
  
  另外一点，在定义导数的时候，也是用增量 $y$ 和 $x$ 的比值来定义的，并不是用微分。只是，导数的值，刚好等于微分 $dy$ 与 $dx$的比值。微分的几何意义就是（比如一元函数微分）自变量增长$\Delta x$后切线的高。

导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；基本初等函数的导数公式；微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性、会求微分；⚓︎

导数的四则运算
1. $(u+v)^{'}=u^{'}+v^{'}$
2. $(u-v)^{'}=u^{'}-v^{'}$
3. $(uv)^{'}=u'v+uv'$
4. $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$
微分的四则运算
$d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x)$
$d(f(x) - g(x)) = df(x) - dg(x)$
$d(f(x) * g(x)) = g(x)*df(x) + f(x)*dg(x)$
$d\dfrac{f(x)}{g(x)} = [g(x)*df(x) - f(x)*dg(x)] / g2(x)$

导数作为两个微分比值的表示；

一阶微分形式的不变性：一元函数$y = f(x)$，无论x是自变量和中间变量，都有$dy = f^{'}(x)dx$。
全微分形式的不变性：$z = f(u,v),u = u(x,y),v = v(x,y);dz = \dfrac{\partial f}{\partial x} dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy$;无论$u，v$是自变量还是中间变量，函数$z=f (u,v)$的全微分形式是一样的。此性质的好处是：一方面是可以不用区分变量直接利用一元函数的微分性质计算；另一方面是不用区分变量是自变量、因变量还是中间变量，以及它们的结构问题就可以利用微分性质直接计算。
复合函数的求导法则：链式法则（依次求导、沿线相乘）
- $y = u(x), u = \varphi(v), v = \psi(x) , \dfrac{dy}{dx} = f^{'}(u) \varphi^{'}(v) \psi^{'}(x)$
多元复合函数的求导：
- 一个自变量：$z = f(x,y), x = \varphi(t), y = \psi(t), \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \dfrac{dy}{dt}$
- 两个自变量：$z = f(u,v), u = u(x,y), v = v(x,y), \dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial z}{\partial u} \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial z}{\partial v} \dfrac{\partial v}{\partial x}$
- ✅：注意偏导数和导数！

高阶导数的概念，求简单函数的高阶导数；⚓︎

求分段函数的导数、隐函数和参数方程确定的导数和反函数的导数⚓︎

隐函数求导见上.
参数方程确定的导数：物理学抛物线，其中 x和y都是时间t的函数，就可以用t把x和y联系起来，

\[\left\{ \begin{aligned}   x = \varphi(t) \\  y = \psi(t)  \end{aligned}\right.\]

$\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，可以进行高阶推导；
反函数的导数：反函数的导数是元函数导数的倒数；

Rolle定理、Lagrange中值定理、Taylor定理、了解并会用Cauchy中值定理⚓︎

✅ 罗尔定理：如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 $[a,b]$ 上连续，（2）在开区间 $(a,b)$ 内可导，（3）$f(a)=f(b)$，则至少存在一个 $\xi$∈(a,b)，使得 $f^{'}(\xi)=0$。
✅ 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间上$[a,b]$连续，在开区间$(a,b)$上可导，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$\xi$使得$f'(\xi)=\dfrac{(f(b)-f(a))}{(b-a)}$
✅ 泰勒定理：如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值；如果函数f(x)在包含x_0的某个开区间$(a,b)$上具有$(n + 1)$阶的导数，那么对于任意$x \in (a,b)$，有

\[f(x) = \dfrac{f(x_0)}{0!} + \dfrac{f^{'}(x_0)}{1!} (x - x_0) + \dfrac{f^{''}(x_0)}{2!} (x-x_0)^2+ ... + \dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n (x)\]

此处的$R_n (x) = \dfrac{f^{(n + 1)} (\varepsilon)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，上述式被称为n阶泰勒公式；
✅ 柯西中值定理：$g(x)$和$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，并且$\forall x \in (a, b), f^{'}(x) \neq 0$，那么存在$\xi \in (a,b)$，使得$\dfrac{f(a) - f(b)}{g(a) - g(b)} = \dfrac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}$

用导数判断函数的凹凸性、函数图形的拐点、水平、铅直线、斜渐进线、画图形；⚓︎

在区间$(a,b)$中，设函数$f(x)$ 具有二阶导数，当$f^{''}(x) > 0$ 时，$f(x)$的图形是凹的，当$f^{''}(x) > 0$ 时，$f(x)$的图形是凸的。

曲率、曲率圆、曲率半径⚓︎

一元函数积分学⚓︎

原函数、不定积分、定积分⚓︎

不定积分：是一个表达式： $\int f(x) dx = F(x) + C$，这个$F(x) + C$ 就是函数$f(x)$ 的一个不定积分；

只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

定积分的特点：积分区间有限，被积函数有界；不定积分和定积分的区别是，定积分确切的说是一个数或者说是关于积分上下限的二元函数也可以成为二元运算，不定积分也可以看成是一种运算，但最后结果不是一个数而是一类函数的集合，是要找到原函数的通用形式；不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减，相当于求一个面积，求一个数字。
定积分：是一个数字；是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上积分和的极限，在区间上划分出一个一个子区间，然后函数值乘以 $x$，这些积分的和就是定积分；
各自的性质：可加性、可提取常数、在区间$[a,b]$上，满足$f(x) \geq 0$，那么积分大于等于0；

不定积分基本公式、不定积分和定积分的性质、积分中值定理、换元积分法、分部积分法⚓︎

定积分中值定理：设 $f(x)$ 在$[a, b]$内连续，那么一定至少存在一点 $\epsilon$，使得 $\int^{a}_{b} f(x) d(x) = (b-a)f(\varepsilon)$
换元积分法:引入中间变量，借助链式法则求解，（凑微分/代换）
分步积分：$\int u^{'}v dx = uv - \int u v^{'} dx$，如果求其中一个积分很容易但是求解另一个积分很困难的时候，可以处理一下再计算；

有理函数、三角有理式、简单无理函数的积分⚓︎

Abstract

感谢这个链接的精妙总结：三角有理式的解法；降幂公式、换元、反三角函数代换、正切函数的积分、积化和差；

积分上限函数、积分上限函数的导数、牛顿、莱布尼茨公式⚓︎

Tip

参考外链：这里

✅ 积分上限函数（变积分函数）几何意义：右边线可以在$[a,b]$上变化的曲边梯形的面积函数；
积分上限函数（总是不知道是啥）：积分上限函数又称变上限积分,例如 $\int f(t)dt$,其中上限为某一变量$x$,下限为某一常量$a$,假定$f(t)$的原函数为$F(t)$,则上述变上限积分就等于$F(x)-F(a)$,该积分显然是$x$的函数,其中$F(a)$为常数.现在对变上限积分求导就是对$F(x)-F(a)$求导,很明显等于$f(x)$.
$\int^{x^2}_{a}e^{-t^2} dt = \int^{x^2}_{a}e^{-x^2} dx$，和积分变量的选取没有什么关系；

\[\int^{a}_{b}uv^{'} d(x) = uv |^{a}_{b} - \int^{a}_{b} vu^{'}d(x)\]

牛顿-莱布尼茨公式：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于原函数在[a,b]上的增量；，实际上是把定积分和不定积分联合起来；

反常积分的概念、反常积分收敛的比较判别法、会计算反常积分⚓︎

✅ 反常积分：函数定义在无穷区间上：$[a, + \infty)$, $\mathop{\lim} \limits_{ u \to + \infty} \int^{u}_{a} f(x) d(x) = J$
❓判断反常积分收敛有四种常用方法：
1. 比较判别法：定义在$[a, + \infty)$ 上的两个函数$f$和$g$都在任何有限区间 $[a, u]$ 上可积，且满足$| f(x) | \leq g(x), x \in [a, + \infty)$，那么当$\int \limits^{+\infty}_{a} g(x) dx$ 收敛时，$\int \limits^{+\infty}_{a} | f(x)| dx$ 也收敛。或者$\int \limits^{+\infty}_{a} | f(x)| dx$ 发散，则 $\int \limits^{+\infty}_{a} g(x) dx$ 必发散；
2. Cauchy判别法：设在$[a, + \infty) \in (0, + \infty)$ 上恒有$f(x) \geq 0, K$是正常数；
  1. 如果$f(x) \leq \dfrac{K}{x^p}$，且$p > 1$，那么$\int \limits^{+\infty}_{a} f(x) dx$ 收敛；
  2. 如果$f(x) \geq \dfrac{K}{x^p}$，且$p \leq 1$，那么$\int \limits^{+\infty}_{a} f(x) dx$ 发散；
3. Abel判别法
  1. $\int_{+\infty}^{a} f(x) dx$ 收敛，$g(x)$ 在 $[a, + \infty )$单调有界，则 $\int^{+ \infty}_{a} f(x) g(x) dx$ 收敛；
4. Dirichlet 判别法
  1. $F(A) = \int^{A}_{a}$ 在 $[a, + \infty)$上有界，$g(x)$ 在$[a, +\infty)$ 上单调并且 $\mathop{\lim}_{x \to + \infty} g(x) = 0$,并且 $\int^{+\infty}_{a}f(x)g(x)$ 收敛
反常积分的计算：

掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量的方法；⚓︎

多元函数微积分学⚓︎

多元函数的概念，多元函数的几何意义⚓︎

多元函数的概念：设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 $( x_1,x_2,…,x_n) \in D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。记为$y=f(x_1,x_2,...,x_n)$其中 $( x_1,x_2,...,x_n) \in D$。变量$x_1,x_2,…,x_n$称为自变量，$y$称为因变量。当$n=1$时，为一元函数，记为$y=f(x),x \in D$，当$n=2$时，为二元函数，记为$z=f(x,y)$,$(x,y) \in D$。二元及以上的函数统称为多元函数。
多元函数的几何意义
- ？

二元函数的极限和连续的概念，有界闭区域上二元连续函数的性质⚓︎

Tip

参考了这个链接：传送门

二元函数极限：直观定义：二元函数$f(x,y)$在某个空心邻域内有定义，当点$P(x_0, y_0)$ 无限趋近$P(x,y)$的时候，$f(x,y)$无限趋近一个常数A，就意味着$f(x,y)$以$A$为极限
二元函数的连续： $\mathop{\lim} \limits_{x \to x_0 \\ y \to y_0} f(x,y) = f(x_0, y_0)$，那么说明这个二元函数在$(x_0, y_0)$处是连续的；
有界闭区域上二元连续函数的性质：
- 最大值最小值定理：如果二元函数$f(x，y)$在有界闭区域上连续，那么它在上一定有最大值和最小值，即在上至少存在两点$P_1(x_1，y_1)和P_2(x_2，y_2)$，使得对任意的$P(x，y) \in D$，都有$f(x1,y1) \leq f(x,y) \leq f(x2,y2)$
- 介值定理：设二元函数$f(x，y)$在有界闭区域上连续，且在上取得两个不同的函数值，而常数c介于这两个函数值之间，则至少存在一点$( \xi，h) \in D$，使得$f(\xi，h) = c$;特别地，如果函数$f(x，y)$在上取得两个异号的函数值，那么至少存在一点，使得 $f(x,y) = 0$

多元函数偏导数和全微分、多元复合函数一阶、二阶偏导数、求全微分、隐函数存在定理、多元隐函数的偏导数⚓︎

多元函数偏导数：函数 $z = f(x,y)$在点 $(x_0,y_0)$的某个邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量 $\Delta x$，对应地函数有增量 $f(x_0 + \Delta x , y_0, x_0) - f(x_0, y_0)$，如果 {} 存在，那么就把这个极限叫做$z = f(x,y)$在点$(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数;
- 如果对于区域内每一点$(x,y)$对$x$的偏导数都存在，就可以称偏导函数；
- 偏导数的几何意义：就是平面点$M_0 ： (x_0, y_0, f(x_0, y_0))$过平面$y = y_0$截这个曲面获得一个曲线 $z = f(x, y_0)$，这一曲线在$M_0$处的切线对于$x$轴的斜率就是它的偏导数的值；函数沿坐标轴正方向的变化率
多元函数的全微分：$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处存在一个切面$g(x,y)$在点$(x_0,y_0)$附近的值和f(x,y)的值足够接近，以至于x \to x_0， y \to y_0 时，我们可以用g(x,y)的近似值来拟合f(x,y)的实际值；
标准定义：如果函数$z = f(x, y)$在点$(x,y)$点的邻域内有定义，如果自变量的增量为 $\Delta x, \Delta y$ 时，函数的增量 $\Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x,y)$在 $x \to x_0，y \to y_0$ 时可以表示为 $\Delta z = \dfrac{\partial z}{\partial x} |_{x_0, y_0} \times \Delta x + \dfrac{\partial z}{\partial y} |_{x_0, y_0} \times \Delta y$，我们就把上式表示为二元函数的全微分；全微分就是偏微分的总和。误差是关于 \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} 的高阶无穷小；
几何意义就是可微 = 二元函数的切平面存在 + 可导；
二阶偏导数反映着图像的曲率
一元函数隐函数存在定理：是一个描述关系以隐函数表示的某些变量之间是否存在显式关系的定理。隐函数定理说明，对于一个由关系$R(x,y)=0$表示的隐函数，如果它在某一点附近的微分满足某些条件，则在这点附近， y可以表示成关于x的函数：
1. $F(x_0, y_0) = 0$
2. $F(x,y)$在$F(x_0,y_0)$的某个邻域内具有连续偏导数；
3. $F^{'}_y(x_0,y_0) \neq 0$
4. 那么方程$F(x,y) = 0$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内唯一确定一个函数$y = y(x)$，满足$F(x, y(x)) = 0$并$y_0 = y(x_0)$，并且有$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F^{'}x}{F^{'}y}$
多元函数的隐函数存在定理：如果函数$F(x,y,z)$满足下列条件：
- $F(x_0,y_0,z_0) = 0$
- $F(x,y,z)$在该点的某个邻域内有连续偏导数
- $F^{'}_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0$
- 那么可以在点$(x_0, y_0, z_0)$的某个邻域内唯一确定一个二元函数$z = z(x,y)$，使得$F(x, y,z(x,y)) = 0$。并$z_0 = z(x_0, y_0)$；并且有连续偏导数

多元函数极值和条件极值、多元函数极值存在的必要性条件、二元函数极值存在的充分条件、二元函数的极值、拉格朗日乘数法求条件极值、简单多元函数的最大值和最小值⚓︎

二重积分的概念、基本性质、二重积分的中值定理、二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）⚓︎

常微分方程⚓︎

微分方程和阶、解、通解、初始条件和特解⚓︎

微分方程：含有未知函数和它的导数的关系式。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。
解：通常是一个函数表达式，含有一些待定常数；$\dfrac{dy}{dx} = \sin (x)$, 解 $y = - \cos (x) +C$
阶：就是含有的导数的阶数；

变量可分离的微分方程和一阶线性微分方程的解法、解齐次微分方程⚓︎

一阶微分方程的解法：
- 常数变易法：：$y'+p(x)y+q(x)=0$，可知其通解;

降阶法求解下列形式的微分方程⚓︎

线性微分方程解的性质和解的结构⚓︎

二阶常系数齐次线性微分方程的解法、求解高于二阶的常系数齐次线性微分方程⚓︎

解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数和他们的和和积的二阶常系数非齐次线性微分方程；⚓︎

用微分方程解决一些简单的应用问题⚓︎

基本初等函数
- 常数
- 自然指数
- 自然对数
- 正弦
- 反正弦
初等函数的生成函数
- $y = e^x$
- $y = sin(x)$
不等式链：4个
❓柯西不等式
❓伯努利不等式 $\prod \limits^{n}_{i = 1} a_i \geq 1 + \sum \limits^{n}_{i=1} a_i$
❓洛必达法则：洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，
❓函数极值的概念：
偏导数：z = f(x, y)，当把y固定在一点，同时x在x_0处有增量的情况下，函数有对应增量$f(x_0 + \Delta, y_0) - f(x_0, y_0)$，且当 $\mathop{\lim}_{x} = 0$，有【】存在，则称此极限为 $z = f(x,y)$在 $(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数；
偏导数的几何意义：偏导数 $fx(x,y)$的几何意义是曲面被平面 $y = y_0$所截得的曲线在处的斜率。
二元函数：在几何上表示三维空间中的一张曲面；
多元函数：设非空点集 ${ x_1, x_2, ... ,x_n}$ ，映射 $f -> R^n$ 称为定义在$D$上的$n$元函数，记作 $u = f(X)$；

备份资料⚓︎

年份	微积分 I 期中	微积分 I 期末	微积分 II 期中	微积分 II 期末	线性代数期中	线性代数期末
2008	❌	✅	❌	❌	❌	❌
2009	❌	✅	❌	❌	❌	❌
2010	❌	✅	✅	❌	❌	❌
2011	❌	✅	✅	❌	✅ ✅	❌
2012	✅	✅	✅	✅	✅ ✅	❌
2013	✅	✅	✅	✅	✅ ✅	❌
2014	✅	✅	✅	✅	✅ ✅	✅ ✅
2015	✅	✅	✅	✅	✅ ✅	✅ ✅
2016	✅	✅	✅	✅	✅ ✅	✅ ✅
2017	✅	✅	✅	✅	✅ ✅	✅ ✅
2018	✅	✅	❌	✅	✅ ✅	✅ ✅
2019	✅	✅	❌	✅	✅ ✅	✅ ✅
2020	❌	❌	✅	✅	✅	✅
2021	❌	❌	❌	✅	✅ ✅	✅
2022	❌	❌	✅	✅	❌	✅ ✅

备注：出现两个 “✅” 可能意味着当年两个学期分别开设了本课程。备注：2020年因为疫情，春学期没有期中考试。