变上/下限积分函数⚓︎
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- 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，设\(x\)为区间\([a, b]\)上的一点，考察定积分 \(\int^{}_{}f(x) dx = \int^{x}_{a} f(t) dt\) 。
- 如果上限\(x\)在区间 \([a, b]\)上任意变动，则对每一个取定的\(x\)，定积分都有一个对应值，所以它在区间 \([a , b]\) 上定义了一个函数，记为 \(\Phi(x) = \int^{x}_{a} f(t)dt\)
- 这个函数就是变上限积分函数。
- 同样地，我们可以定义变下限积分函数。譬如 \(\int^{a}{x} f(t)dt\)。
变限积分函数求导公式⚓︎
- 如果 \(f(x)\) 连续，\(\phi(x)\) 和 \(\varphi(x)\)可导，那么变限积分函数的求导公式可以表述为
\[\Phi^{'}(x) = \dfrac{d \int^{\phi(x)}_{\varphi(x)}f(t)dt}{dx} = f[\phi(x)] \phi^{'}(x) - f[\varphi(x)] \varphi^{'}(x)\]
- 于是可以得到常见的几个公式：
\[\Phi(x) = \int^{x}_{a} tf(t) dt \\ \Phi^{'}(x) = xf(x)\]
\[\Phi(x) = \int^{\infty}_{x} f(t) dt \\ \Phi^{'}(x) = -f(x)\]
扩展⚓︎
- 遇到函数：
\[F(x) = \int^{x}_{a}g(x)f(t)dt\]
- 把 \(g(x)\) 提到前面去，借助求导的乘法法则求得
\[F^{'} = g^{'}(x) \int^{x}_{a}f(t)dt + g(x)f(x)\]
- 遇到
\[F(x) = \int^{x}_{a}f(t, x)dt\]
- 采取换元，将 \(x\) 分离出来。