线性代数第一章概念定理总结⚓︎

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2024.06.12 备注：这部分笔记是“中国教材特供版”。主要是基于NJU的LA教材做的一些纯公式和概念的整理。强烈建议与MIT课程内容区分开来对比着看。

三元一次方程组：\(\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 & = b1; \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 & = b2; \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 & = b3; \end{aligned} \right.\)
记 \(\Delta = \left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|, \Delta_1 = \left| \begin{matrix} b_{1} & a_{12} & a_{13} \\ b_{2} & a_{22} & a_{23} \\ b_{3} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right| , \Delta_2 = \left| \begin{matrix} a_{11} & b_{1} & a_{13} \\ a_{21} & b_{2} & a_{23} \\ a_{31} & b_{3} & a_{33} \\ \end{matrix} \right|, \Delta_3 = \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & b_{3} \\ \end{matrix} \right|\)
如果 \(\Delta \neq 0\)，那么方程组有唯一解 \(x_1 = \dfrac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \dfrac{\Delta_2}{\Delta}, x_3 = \dfrac{\Delta_3}{\Delta}\)
如果 \(\Delta = 0\)，\(\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3\)不全为0，那么方程组无解；
如果 \(\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0\)，方程组可能无解也可能有无数组解；

余子式：在\(N\)阶行列式中，删去\(a_{ij}\)所在的行的元和所在列的元，剩余元不改变原来的顺序组成的\(n - 1\)阶行列式称为\(a_{ij}\)的余子式
代数余子式：余子式乘以\((-1)^{i+j}\)，其中\(i,j\)为行列下标
\(n\) 阶行列式的值可以表示为：\(D_n = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + ... +a_{1n}A_{1n} = \sum^{n}_{j=1}{a_{1j}A_{1j}}\)，上式也可表示为第一行的展开式。
行列式的值等于它的第一行诸元素与其相应的代数余子式的乘积之和；

反对称行列式：第\(i\)行第\(j\)列的元素是第\(i\)列第\(j\)行的元素的负数，也就是 \(a_{ij} = -a_{ji}\)，这样的行列式是反对称行列式
一切奇数阶的反对称行列式都等于0
证明n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式(\(n \geq 2\))
\(D_{n}{x_1, x_2, ...,x_n} = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2& \cdots & x_n \\ x^{2}_{1} & x^{2}_{2} & \cdots & x^{2}_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x^{n-1}_{1} & x^{n-1}_{2} & \cdots & x^{n-1}_{n} \\ \end{matrix} \right| = \prod \limits_{1 < i < j \leq n}{(x_j - x_i)}\)

Tip

对于 \(n\) 元线性方程组，如果系数行列式不为0，那么方程组是有解的且解唯一，这个解可以表示为\(x_j = \dfrac{D_j}{D}, (j = 1,2,3...n)\),其中\(D_j\)是将D的第\(j\)列元素\(a_{1j}, a_{2j}...a_{nj}\)换成方程组右端的常数项\(b_1, b_2, b_3....b_n\)所得到的行列式的数值，这就是克莱姆法则的内容。
方程组（1.16）的一个重要情况：等式右边的常数项全部都是0，这样的方程组称为齐次线性方程组，如果线性方程组的解全都是0，那么就称为零解，否则就是非零解，齐次线性方程组一定有零解，右段不全为零的非齐次线性方程组的解都是非零解。
定理，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件：系数行列式的值是0；含有\(n\)个未知数\(n\) 个方程的齐次线性方程组如果有非零解，那么系数项行列式的值一定是0。（表明\(D = 0\)是有非零解的必要条件，充分性证明见后）
非齐次线性方程组有解的充分必要条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；
- 如果有解，但是不是行满秩\((r < n)\)的，就说明有无穷多组解（一些解可以通过把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余\(n-r\)个未知数表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含\(n-r\)个参数的通解。

如果\(D= 0\)，那么有两种情况，一种是各个方程之间存在矛盾，另一种是两方程重合。