线性代数第二章总结⚓︎
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2024.06.12 备注：这部分笔记是“中国教材特供版”。主要是基于NJU的LA教材做的一些纯公式和概念的整理。强烈建议与MIT课程内容区分开来对比着看。
2.1 矩阵和\(n\)维向量⚓︎
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2.1.1 矩阵的概念：\(m \times n\)个数\(a_{ij}\) 排成\(m\)行\(n\)列数表写成: \(\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\)， 叫做\(m\)行\(n\)列矩阵，其中的每个数叫做矩阵的元素，元素都是实数的矩阵叫做实矩阵，元素都是复数的矩阵叫做复矩阵。当\(m = n\)的时候，称为\(n\)阶 方阵 。
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2.1.2 向量的概念：（n维向量）\(n\) 个数字\(a_1, a_2....a_n\)组成的有序数组\((a_1, a_2,...,a_n)\)或者\(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)，\(a_i\)称为向量的第\(i\)个分量或者坐标，分量都是实数的向量称为实分量，分量都是复数的向量称为复分量。
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2.1.3 所有元素都是0的矩阵称为零矩阵，\(m\)行\(n\)列的零矩阵记为\(O_{m \times n }\)；所有分量都是零的向量称为零向量。
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2.1.4 对角矩阵：\(A\)为\(n\)阶方阵，如果当\(i \neq j\)时，\(a_{ij} = 0\)，那么A被称为对角矩阵。\(A = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{pmatrix}\), 同时\(diag(a_{11}, a_{22}... a_{nn})\)也可以用来表示对角矩阵。
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2.1.5 如果对角矩阵 \(A\) 中\(a_{11} = a_{22} = \cdots = a_{nn} = k\)，那么称 \(A\) 为数量矩阵，当k = 1时，称A为单位矩阵。
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2.1.6 上三角形矩阵：
- 2.1.7 下三角形矩阵：
- 2.1.8 对称矩阵：设 \(A\) 为\(n\)阶方阵，如果矩阵的元素满足\(a_{ij} = a_{ji}, (i,j = 1,2,3,4...n)\)，则称A为对称矩阵，如果矩阵的元素满足\(a_{ij} = -a_{ji}, (i,j = 1,2,3,4...n)\)，那么称A为反对称矩阵。
- 2.1.9 如果矩阵\(A\)和\(B\)的行数和列数都相等，并且对应的元素也都相等，那么这两个矩阵相等。\(A = B\)；如果向量\(\alpha\) 和\(\beta\) 的分量个数相同，且对应的分量都相等，那么这两个向量相等:\(\alpha = \beta\)
- 2.1.10 转置矩阵：把\(m \times n\)的矩阵的行与列互换后得到一个\(n \times m\)的矩阵，称为A的转置矩阵。记为\(A^{T}\)
- 2.1.11 方阵的行列式：\(\left | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right |\) 称为方阵\(A_{n \times n}\)的行列式，记作\(| A |\)，如果\(| A | \neq 0\)， 则称矩阵 A是非异矩阵，如果\(| A | = 0\)，则称矩阵A是奇异矩阵，或退化矩阵。
2.2 矩阵的运算⚓︎
- 2.2.1 加法运算：只有两个矩阵是同型矩阵，才能进行加法运算。（行列数分别相等）
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2.2.2 加法运算满足的运算规律：
- 交换律：\(A+B= B+ A\)
- 结合律:\((A+B) + C = A + (B + C)\)
- 零矩阵：对于任意矩阵，\(A + O= A=O+A\)（\(O\)与\(A\)同型）
- 负矩阵：对任意矩阵\(A=(a_{ij})\)，可定义负矩阵\(- A= (-a_{ij})\)，称为\(A\)的负矩阵，有\(A+(-A) = O\)
- 由此可以定义矩阵的减法：\(A- B= A+ (-B)\)
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2.2.3 矩阵的数乘运算：\(kA = (ka_{ij})_{m \times n}\)。即数k和矩阵A的乘积是k乘以矩阵A的每个元素所得的矩阵。
- 2.2.4 矩阵的加法和数乘运算统称矩阵的线性运算，他们满足如下规律：
- 结合率：\((kl)A = k(la)\)
- 分配律：\(k(A + B) = kA + kB, (k + l)A = kA + lA\)。其中\(k,l\)均为实数，\(A，B\)均为\(m \times n\)矩阵
- \(1 \cdot A = A ; 0 \cdot A = O\)
- \(-1\) 与矩阵\(A\)的乘积结果是\(A\)的负矩阵\(- A\)
- 2.2.5 方阵的数乘和行列式：已知\(A\)是\(n\)阶方阵，\(k\)为任意数，则有\(|kA| = k^n|A|\)
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2.2.6 矩阵的乘法：
- 矩阵和矩阵相乘，不存在交换律
- 如果矩阵\(AB\)满足\(AB= BA\)，那么称\(A\)，\(B\)是可交换的。单位矩阵和数量矩阵与任何同阶矩阵都是可交换的。
- 矩阵和矩阵相乘不存在消去律：
\(AB = O\)，未必可推出\(A=0\)或\(B=0\)；\(AC=BC, C \neq O\),也未必能推出\(A= B\)，
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2.2.7 矩阵乘法的运算规律：
- 结合率：\((AB)C = A(BC)\)
- 数乘结合律：\(k(AB) = (kA)B = A(kB)\)，\(k\)为数量。
- 分配律：\(A(B+C) = AB+AC;(B+C)A = BA+CA\)
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2.2.8 方阵的乘法、幂、矩阵多项式：【待补充】
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2.2.9 \(|AB| = |A||B|\)
推广：\(|A_1A_2A_3...A_n| = |A_1||A_2||A_3|...|A_n|\)
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2.2.10 转置矩阵的性质
- \((A^{T})^{T} = A, |A^{T} | = |A|\)
- \((A+B)^{T} = A^T + B^T\)
- \((kA)^T = kA^T\)(\(k\)是常数)
- \((AB)^T = B^TA^T\)
- 4的推广：\((A_1A_2A_3A_4...A_n)^T = (A_n)^T(A_{n-1})^T(A_{n-2})^T...(A_1)^T\)
2.3 分块矩阵⚓︎
2.4 初等变换与初等矩阵⚓︎
- Def. 2.4.1 初等变换：
- 对调变换（交换两行（列））
- 数乘变换（用任意非0数乘矩阵某行/列）
- 倍加变换（某行（列）乘以某个数倍加到另外一行（列）
- Def. 2.4.2 初等矩阵：单位矩阵做一次初等变换后的矩阵称为初等矩阵
- 定理2.4.1 （初等变换和初等矩阵）：设A是一个 \(m \times n\) 矩阵，对 \(A\) 进行一次初等行变换，相当于在\(A\)左边乘一个相应的\(m\)阶初等矩阵，对 \(A\) 进行一次初等列变换，相当于在 \(A\) 右边乘一个相应的 \(n\) 阶初等矩阵。
- Def. 2.4.3 （行/列等价矩阵、等价矩阵）：如果矩阵\(A\)经过有限次初等（行/列/）变换变成矩阵\(B\)，那么称矩阵\(A\)和\(B\)（行/列/）等价。\(A\stackrel{r/c/}{\rightarrow}B\)。矩阵关系之间的等价具有如下性质：
- 自反（与其自身等价）
- 对称性（\(A\)与\(B\)对称也就是\(B\)与\(A\)对称）
- 传递 \((A \rightarrow B , B \rightarrow C, A \rightarrow C)\)
- 具有行等价关系的矩阵对应的线性方程组有相同的解；
- Def 2.4.4 梯形矩阵、矩阵的标准形
- 如果有零行，则零行全部在下方；
- 从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数在逐行增加，那么\(A\)为行梯形矩阵；
- 如果矩阵同样满足：非零行的第一个非零元素为1，并且1所在列的其他元素全为0，那么A为行简化梯形矩阵。
- 如果矩阵 \(A\) 既是行简化梯形矩阵，又是列简化梯形矩阵，那么\(A\)是标准型矩阵；
- （补充矩阵图）
- 定理2.4.2 矩阵的化简：设\(A\)为 \(m \times n\) 矩阵，那么
- （1）存在\(m\)阶初等矩阵\(P_1, P_2, ... P_s\)，使得\(P_s P_{s-1}...P_2 P_1 A\) （也就是对\(A\)进行有限次的初等行变换），成为 \(m \times n\) 阶行简化梯形矩阵
- （2）也存在\(n\)阶初等矩阵 \(Q_1, Q_2, Q_3...Q_t\)，使得\(AQ_1 Q_2 Q_3....Q_t\) （也就是对A进行有限次的初等列变换）可以成为 \(m \times n\) 阶列简化梯形矩阵
- （3）可以经过有限次的初等行变换和初等列变换，将矩阵\(A\)化为标准型
2.5 矩阵的秩 🌟🌟⚓︎
- Def 2.5.1 矩阵的子式：设\(A\)是一个 \(m \times n\) 矩阵，任取\(A\)的\(k\)行和\(k\)列( \(0 < k \leq \mathop{\min} \left\{ m, n \right\}\))，位于这些行列交叉处的 \(k^2\)个元素，按照原来顺序排列成的\(k\)阶行列式，称为矩阵\(A\)的\(k\)阶子式。
- Def 2.5.2 矩阵的秩：设\(A\)是一个 \(m \times n\) 矩阵，如果\(A\)中至少存在一个非零的\(r\)阶子式\(D\)，并且所有的\(r+1\)阶子式（如果存在的话）都是0，那么\(D\)称为矩阵\(A\)的最高阶非零子式，数\(r\)称为矩阵\(A\)的秩。记为\(\text{rank}(A) = r\)。规定零矩阵的秩为0；
- 如果方阵\(A\)的秩等于它的阶数，\(r(A) = n\)，那么\(A\)为满秩矩阵。由于\(n\)阶矩阵有且只有一个最高阶子式 \(| A |\)，所以\(A\)为满秩矩阵的充要条件是\(|A| \neq 0\)。从而，\(A\) 为非奇异矩阵的充要条件是\(A\)为满秩矩阵。
- \(r(A)\)是\(A\)的非零子式的最高阶数
- \(0 \leq r(A_{m \times n}) \leq \mathop{\min}(m, n)\)
- \(r(A^{T}) = r(A)\)
- 定理2.5.1 初等行列变换不改变矩阵的秩
- 定理2.5.2 行梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数
- 任何一个满秩矩阵都可以通过若干次初等行变换变为单位矩阵，也可以经过若干次初等列变换变为单位矩阵
- 求解矩阵秩的另一个方法：初等行、列变换将矩阵变化为行梯形矩阵，其非零行的行数就是矩阵的秩
2.6 可逆矩阵和伴随矩阵⚓︎
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Def. 2.6.1 逆矩阵：对于\(n\)阶方阵\(A\)，如果存在同阶方阵\(B\)使得\(AB= BA= E\)，那么称\(A\)是可逆矩阵，\(B\)是\(A\)的逆矩阵，记作\(A^{-1}\)
- 如果\(A\)是可逆的，那么\(A\)的逆矩阵是唯一的。
- 如果\(A\)可逆，那么\(A^{-1}\)也是可逆的，\((A^{-1})^{-1} = A\)，还有\(|A^{-1}| = |A|^{-1}\)
- 如果\(A\)可逆，数\(k \neq 0\)，那么\(kA\) 也是可逆的，并且\((kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}\)
- 如果\(A\)可逆，那么\(A^T\)也可逆，并且\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^{T}\)
- 如果\(A\)，\(B\)是同阶可逆矩阵，那么\(AB\)也是可逆的，并且\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
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Def. 2.6.2 方阵的伴随矩阵：设\(A = (a_{ij})\)是\(n\)阶方阵，\(A_{ij}\)是\(|A|\)中元素\(a_{ij}\)的代数余子式，那么矩阵 \(A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}\) 称为A的伴随矩阵。
- \(A^{*}A = AA^{*} = |A|E\)
- 定理2.6.1 方阵可逆的充要条件：
- \(|A| \neq 0\). 同时\(A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} A^{*}\)
- \(A\) 满秩;
- \(A\) 可以表示为有限个初等矩阵的乘积，\(A = P_1P_2...P_n\)
- \(A\) 的行/列向量组线性无关 ⇔ 任意 \(n\) 维向量可以由\(A\)的行/列向量组线性表示；
⏰ 借助伴随矩阵计算逆矩阵：
把矩阵\(A\)和行数相同的单位阵E合并成增广矩阵：\(B = (A \hspace{4pt} E)\)
对整个\(B\)矩阵进行初等行/列变换，变换成\((E \hspace{4pt} C)\)， 此时C就是A的逆矩阵。
拓展： \(AP = B\)，求解\(P\)，可以增广出\((A \hspace{4pt} B)\)，然后再算出\((E\hspace{4pt} P)\)即可。
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结论：\(|A^{*}| = |A|^{n-1}\)
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定理2.6.4 矩阵的分解：设A是一个 \(m \times n\) 矩阵，r(A) = r，那么存在一个m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得\(A=P\Lambda Q\),其中\(\Lambda = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O_{(m-r) \times (n-r)}\\ \end{pmatrix}\)
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推论2.6.5 任意\(n\)阶可逆矩阵\(A\)均可以表示成有限个\(n\)阶初等矩阵的乘积，进一步，任何一个可逆矩阵均可致经过初等变化变成单位阵，也可以只经过列的初等变换化为单位阵；
行/列的初等变换求解逆矩阵。
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定理2.6.6 设\(A\)是 \(m \times n\)阶矩阵，\(P，Q\)分别是\(m\)阶、\(n\)阶可逆矩阵，那么\(r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)\)
2.7 向量组的线性相关和线性无关⚓︎
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Def. 2.7.1 （向量的线性组合、线性表示） 给定\(m\)维向量组\(A = \alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_m\)和同维向量 \(\beta\)，如果存在一组数\(k_1,k_2,...,k_m\), 使得 \(\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_m \alpha_m\) ，那么称向量 \(\beta\) 是向量组 \(A\) 的一个线性组合，或者说向量 \(\beta\) 可以由向量组\(A\)线性表示。向量 \(\beta\) 可以由向量组A线性表示，也就是方程组 \(x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + ... +x_m \alpha_m = \beta\) 有解。
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Def. 2.7.2 🌟🌟 等价向量组：设有两个向量组\(A\)：\(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m\)以及 \(B: \beta_1,\beta_2,...,\beta_l\), 若\(A\)组中的 每一个向量 都可以由向量组\(B\)线性表示，那么向量组\(A\)可以由向量组\(B\)线性表示，如果\(A、B\)可以相互线性表示，那么称这两个向量组等价。
- Def. 2.7.3 （线性相关和线性无关） 给一个向量组\(A\)： \(\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_m\)，如果 存在不全为0的 数 \(x_1, x_2, ...,x_m\)使得 \(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_m \alpha_m = \theta\)，（\(\theta\) 是指所有分量都是0的向量，零向量）， 那么就说 向量组\(A\)是线性相关的 。
- 基本结论：
- 一个向量线性相关的充要条件是\(\alpha = \theta\)；
- 包含零向量的向量组必定是线性相关的；
- 如果一个向量组的部分向量组线性相关，那么该向量组也线性相关；
- 如果一个向量组线性无关，那么其中任何一个部分向量组也线性无关；
- 基本结论：
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定理2.7.1 向量组\(A\): \(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_m\) (\(M \geq 2\))线性相关的充要条件是，向量组\(A\)中至少有一个向量可以由其余 \(m - 1\)个向量线性表示；
- 逆否命题：向量组线性无关的充要条件是其中任何一个向量都不能由其他向量线性表示；
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定理2.7.2 设向量组\(A\): \(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_r\) 线性无关，而向量组\(A: \alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_r, \beta\) 线性相关，那么向量 \(\beta\) 一定可以由向量组\(A\)线性表示，并且表示式是唯一的。
- 定理2.7.3 （利用矩阵的秩来判定向量组线性相关和线性无关） \(n\)维列向量组\(A\): \(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_r\) 线性相关的充要条件是\(r(A) < r\)， 其中矩阵\(A = (\alpha_1 \hspace{3pt} \alpha_2 ... \alpha_r)\)。换言之，该向量组\(A\) : \(\alpha_1, \alpha_2, ... \alpha_r\) 线性无关的充要条件是\(r(A) = r\);
- 推论 2.7.4 向量的个数\(m\)大于其维数\(n\)，那么向量组线性相关；
- 推论 2.7.5 \(n\)个\(n\)维向量线性无关的充要条件是行列式不为0；
- 推论 2.7.6 设\(A = (a_{ij})_{ m \times n}\)的秩\(r(A) = r \leq m\)，而且A的某列（行）所组成的矩阵含有不等于零的r阶子式，那么这r个列（行）向量线性无关。
2.7.3 极大无关组和向量的秩⚓︎
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Def. 2.7.4 极大无关组 设\(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_r\)是某一个组的部分组，满足
- 1⃣️ \(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r\) 线性无关；
- 2⃣️ 在向量组中任取向量 \(\alpha_1\)，向量组\(\alpha_1，\alpha_2,..,\alpha_r,\alpha\) 都线性无关，那么称向量组\(\alpha_1，\alpha_2,..,\alpha_r,\alpha\)，简称极大无关组。
由定义可知，仅含有零向量的向量组没有极大线性无关组，而一个线性无关的向量组的极大无关组就是本身；
向量组中的任意一个向量都可以用它的极大无关组来表示；
如果极大无关组就是它本身，那么它一定满秩；
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Def. 2.7.7 设\(\alpha_{i1}, \alpha_{i2},...,\alpha_{ir}\)是向量组 \(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m\)的一个极大线性无关组，那么向量组 \(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m\)中任一向量均可由 \(\alpha_{i1},\alpha_{i2},...,\alpha_{ir}\)线性表示，而且表示法唯一。
- 推论2.7.8 向量组与它的任意一个极大线性无关组等价；
- 推论2.7.9 一个向量组的各个极大无关组之间是等价的；
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推论2.7.10 两个向量组等价的充要条件是一组的一个极大无关组和另一组的一个极大无关组等价；
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定理2.7.11 一个向量组的各个极大无关组所含向量的个数相同。
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Def. 2.7.5 向量组的秩 向量组\(A:\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)的一个极大无关组所含向量的个数定义为该向量组的秩，记为\(r \{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m \}\).规定仅含零向量的向量组的秩为0.
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定理2.7.12 设\(A\):\(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_m\)；\(B\): \(\beta_1, \beta_2,...,\beta_n\) 是两个同维数的向量组，若向量组\(A\)可由向量组\(B\)线性表示，那么必有\(r \{ \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m \} \leq r \{ \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n \}\)，进一步有，等价的向量组必有相同的秩；
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定理2.7.13 任一矩阵的秩和列秩、行秩均相等;
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定理2.7.14
- \(r(A + B) \leq r(A) + r(B)\)
- \(r(AB) \leq \mathop{\min} \left\{ r(A), r(B) \right\}\);
- 如果\(A\),\(B\)均为\(n\)阶方阵，那么\(r(AB) \geq r(A) + r(B) - n\)
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向量组极大无关组的求法：
- 初等变换法：
- 原来的向量，统一按照列组合成一个矩阵；
- 进行初等行变换转化成“行简化梯形矩阵”；
- 首个非零元素在的列对应的向量组成的向量组就是极大无关组；
- 其他向量按照列的倍数写成线性表达式；
- 初等变换法：
- 线性无关向量组正交规范化的施密特正交方法：跳转链接