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线性方程组解的结构⚓︎

约 1313 个字 预计阅读时间 4 分钟

2024.06.12 备注：这部分笔记是“中国教材特供版”。主要是基于NJU的LA教材做的一些纯公式和概念的整理。强烈建议与MIT课程内容区分开来对比着看。

3.1 高斯消元法和矩阵的行变换⚓︎

第一章中的是\(n\)元\(n\)个方程构成的线性方程组的克莱姆法则，但是有很大局限，如果未知数个数和方程个数不同，就无法使用，其次，\(n\)元\(n\)个方程构成的方程组系数行列式非0，\(n\)较大，计算量较大，因此讨论由\(n\)元\(m\)个方程构成的更一般的方程组是否有解；

  • \(Ax = b\), \(A\) :系数矩阵，\(x\)：未知向量，\(b\)：右端向量，使方程组成立的已知向量：解向量，\(B= (A \hspace{4pt} b)\) 称为 增广矩阵。

  • 解、解向量、解集

    • 方程组所有解或者所有解向量构成的集合，称为解集。

  • Def 3.1.1 同解方程组：具有相同解集的两个方程组称为同解方程组；

    我们不仅要让方程组保持解集不变，还要让方程组向简单的方向进行变化.我们知道: 交换方程组中的两个方程；某个方程乘以一个非零的数；一个方程减去另一个方程，这些方程组的变换依然保持方程组的解集.显然方程组的这些变换等价于对增广矩阵 \(B\) 施行相应的行初等变换.当通过一系列的行初等变换将原增广矩阵 \(B\) 变换成行简化梯形矩阵时，方程组的解也就得到了，这就是解线性方程组的高斯(Gauss) 消元法.

3.2 Gauss 消元的矩阵表示⚓︎

3.3 线性方程的可解性⚓︎

  • 定理3.3.1 线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且当\(r(A) = r(B) = n\)时，方程组有唯一解，当\(r(A) = r(B) < n\)时候，方程组有无穷多组解。

    如果秩不等，那么必然无解。

3.4 线性方程组解的性质和结构⚓︎

3.4.1 齐次线性方程组的结构⚓︎

考虑方程组\(Ax = \theta\)

  • 定理3.4.1 如果\(\alpha_1, \alpha_2\) 使方程组\(Ax = \theta\) 的解，那么其线性组合\(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2\)也是方程组的解

  • Def 3.4.1 齐次线性方程组：右端为0 的线性方程组称为齐次线性方程组；基础解系：能线性表示出齐次线性方程组所有解的极大无关向量组称为该齐次线性方程组的基础解系。

  • 实际就是==简化成行梯形矩阵之后令前\(r\)行均取相反数==，\(n-r\)个取\((0,1,0,0,..0)\)对应；

  • Def 3.4.2 方程组的特解和通解：方程组某一个解称为方程组的特解；方程组所有解的集合称为方程组的通解；
  • 定理3.4.2 设\(A \in R^{m \times n}\)，如果\(r(A) = n\)，那么\(Ax = \theta\) 只有零解；如果\(r(A) < n\), 那么\(Ax = \theta\) 有非零解
  • 推论3.4.3 方程组\(Ax = \theta\), \(A \in R^{ n \times n}\)有非零解的充要条件是 \(|A| = 0\)

  • 推论3.4.4 如果\(A \in R^{m \times n}\)并且 \(m < n\)，那么\(Ax = \theta\) 有非零解

  • 当齐次线性方程组有非零解，如何去求方程组的包括零解和非零解的所有解（通解）

  • 简化的同解方程组有些变量移到右边设为自由参数，有些保留在左边（这些变量正好是行简化梯形矩阵每一行最左边对应的变量（非自由变量），移到右边的变量是行简化梯形矩阵最左边的1以外的列对应的变量（自由变量）。

⏰ 如何求齐次线性方程组基础解系： - 首先对 \(A\)经过适当的行初等变换，可以化为如下形式的行简化梯形矩阵，【补充】

非自由变量是简化梯形矩阵中左端为1的变量；剩下的均为自由变量； 最后一行是矩阵所在列的列编号，对 \(n - r\)个自由变量 \(x_2, ...x_{i_2 - 1}， x_{i_2 + 1},...,x_{i_r - 1},x_{i_r + 1},...x_n\) 分别取\(n - r\)组线性无关向量，一般\((1,0,0,..), (0,1,...,0)\)以此类推；则可得\(n - r\)组非自由变量\(x_1, x_{i_2}, ... ,x_{i_r}\)的值，从而构成 \(n - r\) 组方程组的解，设该\(n - r\)组解向量为 \(\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_{n-r}\)，则他们就是方程组的一个基础解系（也就是n-r个方程组解的解向量，构成了基础解系），方程组的通解为:

\[k_1 \alpha_1 +  ... + k_{n-r} \alpha_{n-r}\]

其中\(k_1, ...k_{n -r} \in R\) 为任意常数；这也就是齐次通解；

  • 推论3.4.6 若 \(A \in R^{m \times n}\)，那么 \(r(A) + r(N(A)) = n\)，其中\(N(A)\)表示\(Ax = \theta\) 的基础解系为列构成的矩阵。
  • 定理3.4.7 若 \(A\eta = b, (b \neq \theta)\)，那么 \(Ax = b\) 的通解可以表示为 \(\eta + \alpha\)，其中 \(\alpha\) 为\(Ax = \theta\) 的解，如果\(Ax = \theta\) 的基础解系为 \(\alpha_1, ...,\alpha_r\)，那么\(Ax = b\)的通解为 \(\eta + k_1 \alpha_1 + ,..., + k_r \alpha_r\)，其中\(k_i\) 为任意实数。

3.4.2 非齐次线性方程组的解⚓︎

  • 如果 \(A\eta = b ( b \neq \theta)\)，那么该线性方程组的通解表示为 \(\alpha + \eta\)，其中 \(\alpha\) 为该线性方程组齐次情况下的基础解系，也就是说\(A\eta = b ( b \neq \theta)\)的通解为 \(\eta + k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + ... + k_{r} \alpha_r\).
  • 求法：对增广矩阵做初等行变换，变换成行简化梯形矩阵；增广的最后一列作为特解 \(\eta\)，剩余的利用齐次线性方程组的基础解系给出通解，继续计算即可；
  • 齐次通解 + 非齐次特解；

3.5 线性最小二乘法⚓︎

【待补充】