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二次型⚓︎

约 1474 个字 预计阅读时间 5 分钟

2024.06.12 备注：这部分笔记是“中国教材特供版”。主要是基于NJU的LA教材做的一些纯公式和概念的整理。强烈建议与MIT课程内容区分开来对比着看。

  • ✨🌟二次型：含有\(n\)个实变量的在某个数域内的二次齐次多项式就是二次型；

    矩阵转二次型：平方项的系数直接做成主对角线的元素 , 交叉项的系数除以2放到两个对称的相应位置

  • 二次型矩阵：\(X^T A X = f\) （二次型），\(A\)就是～

  • 线性变换：

\[\left\{ \begin{aligned}  x_1 = c_{11}y_1 + c_12 y_2 + ..+c_{1n}y_n \\ x_2 = c_{21}y_1 + c_22 y_2 + ..+c_{2n}y_n \\ ...\\ x_n = c_{n1}y_1 + c_n2 y_2 + ..+c_{nn}y_n   \end{aligned} \right.\]

  • 上述称为从\(x_1, x_2,...x_n\) 到 \(y_1, y_2, ..., y_n\) 的一个线性变换；

  • 如果变换矩阵的行列式不为0，就是非退化线性变换。

  • 如果\(P\)是正交矩阵，就是正交变换。
  • ❓ 二次型的标准型：二次型\(f(x_1, x_2, x_3,...,x_n)\)经过非退化线性变换后得到一个仅包含变量平方项的二次型 \(d_1 y^{2}_{1} + d_2 y^{2}_2 + ... + d_n y^{2}_n\) 称为原二次型的标准型；
    • 配方法：逐次对一个平方项以及和它有关的交叉项进行配方；
    • 正交法：首先求二次型矩阵A的特征值和对应的特征向量，把特征向量按照列顺序连接成矩阵，此时变成的标准型就是 \(\lambda_1 y^2_{1} + \lambda_2 y^2_{2} +\lambda_3 y^2_{3}\) ，对应的 \(\lambda\) 就是特征值；
  • 二次型的规范型：实二次型\(f(x_1, x_2, ..., x_n )\)经过非退化的实线性变换得到如下形式的二次型：\(z^{2}_1 + ... + z^{2}_p - z^{2}_{p+1} - ... - z^{2}_r , r \leq n\)称为原二次型的实规范型，\(r\)称为它的秩。
    • 标准型和规范型差了一个系数，虽然都是平方项的和。
    • 同一个二次型，用配方法和正交变换法得到的标准形不唯一，因为配方法有不同的配法，得到的平方项系数自然不一样，而且正交变换法得到的标准形是由正交矩阵\(A\)的特征值唯一确定的，标准形就不唯一了。根据惯性定理，不同的可逆线性变换得到的标准形虽然不唯一，但是正负惯性指数和平方项的个数却是一样的，规范形唯一，意思是规范形中的指标\(p\)和\(r\)由二次型唯一确定。

Note

可以参考这个回答

  • 合同、合同变换：\(A\)和\(B\)都是\(n\)阶可逆矩阵，如果有：\(B = P^T A P\)，\(B\)就是\(A\)的合同矩阵；

  • 🌟🌟合同变换法：对矩阵 \(B = (A E)\)(列形式)，做一次初等列变换后，接着做一次相应的初等行变换，重复这种做法，直到原\(A\)部分化作对角矩阵 \(\Lambda\) 后为止，此时下面的\(E\)对应的\(P\)矩阵就是从\(x\)到\(y\)的可退化线性变换 \(x = Py\)，将二次型化为标准型：\(f(x) = g(y) = y^T \Lambda y\)

  • 合同变换，亦称全等变换或正交变换，是欧氏几何中的一类重要变换，即，使图形变为其全等图形的变换。如果欧氏平面（平面几何）或欧氏空间（立体几何）的点变换，把任意线段的两个端点变成等长线段的两个端点，则称其为合同变换。合同变换把几何图形变成合同（即全等）图形，保持线段长度不变，保持角度不变，并把直角变成直角。在n维欧氏空间（包括普通平面和空间）中，也把保持两点间距离（即线段长度）不变（因而角度也不变）的点变换称为正交变换或合同变换。正交（合同）变换把欧氏空间中由两两正交的单位向量组成的标准正交基变成标准正交基。

  • ✅ 惯性定理：存在非退化的实线性变换将实二次型化为实规范形 \(z^{2}_1 + ... + z^{2}_p - z^{2}_{p+1} - ... - z^{2}_r\)； 存在实可逆矩阵将实对称矩阵合同变换为 \(diag(E_p, - E_{r - p}, O_{n-r})\) 其中\(r\)为二次型矩阵的秩，\(p\)是唯一确定的。

  • 正惯性指数 / 负惯性指数：如果实二次矩阵的实规范型为 \(z^{2}_1 + ... + z^{2}_p - z^{2}_{p+1} - ... - z^{2}_r, \hspace{12pt} r \leq n\)，则称\(p\)为原二次型的正惯性指数，称 \(r - p\) 为原二次型的负惯性指数。

  • 正惯性指数 = 正特征值个数； 负惯性指数 = 负特征值个数； 正 + 负 = 秩 = 非零特征值个数；

5.2 正定二次型⚓︎

  • 正定二次型：设 \(f(x) = x^T Ax\)为实二次型，如果实向量 \(x \neq \theta\) 时， 都有 \(x^T Ax > 0\)，那么\(f\)为正定二次型，称\(A\)为正定矩阵。

    • 如果都有 \(x^T Ax < 0\)，就称\(f\)为负定二次型，称\(A\)为负定矩阵；
    • 如果都有 \(x^T Ax \geq 0\)，就称\(f\)为半正定二次型，称\(A\)为半正定矩阵；
    • 如果都有 \(x^T Ax \leq 0\)，就称\(f\)为半负定二次型，称\(A\)为半负定矩阵；

  • 矩阵的左上角\(i\)行\(i\)列构成行列式称为\(A\)的\(i\)阶顺序主子式；

  • \(n\)阶正定矩阵的判断条件（互为充要）：

    • 特征值全正；
    • 正惯性指数为\(n\)；
    • 各阶顺序主子式均为正；

  • 如果\(A\)是实对称矩阵，那么下列条件互为等价：

    • \(A\)为半正定矩阵；
    • \(A\)的特征值大于等于0；
    • \(A\)的正惯性指数为\(r(A)\)；
    • \(A\)的各阶主子式非负；