跳转至

矩阵空间⚓︎

约 1501 个字 预计阅读时间 5 分钟

大纲

  1. 矩阵空间
  2. 秩1矩阵
  3. 一些特殊的向量空间

矩阵空间⚓︎

承接前一节最后补充的内容，对于 n 维空间的解决思路同样适用于矩阵空间，只要这个集合中的元素允许加法和数乘运算，并且对这两个运算封闭。

现在，我们定义 M 是所有 3 \times 3 的矩阵集合，求这个矩阵空间的基。我们可以迅速反应过来维数是9，也就是每个位置上都有一个数字，其他数字都是0，这一组基；

同样我们可以给出对角矩阵（3\times 3）的维数（是3）和对称矩阵空间的维数（是6，对角线和上三角区域都安排数字）；

思考

如果对对称矩阵空间和上三角矩阵空间取交集( \(\text{Symmetric} \cap \text{Upper Triangular}\) )，其维数是多少？

答案是3，因为这个交的结果就是对交矩阵空间；

如果对称矩阵和上三角矩阵取并集合，\(\text{Symmetric} \cup \text{Upper Triangular}\)，这个并集不构成一个矩阵空间，不封闭。

正因为如此，我们往往对交集更感兴趣，对并集不感兴趣。

现在我们提出一个新的概念，求和，注意不是 \(S \cap U\) 而是 \(S + U\)，含义是==任意一个上三角矩阵 + 任意一个对称矩阵形成的矩阵组成的空间==。理论上，这样可以组成所有的 \(3 \times 3\) 的矩阵。所以这个矩阵空间的维数是 9。

根据上面这些的描述，可以得到一个重要结论：

\(\text{dim}(S) + \text{dim}(U) = \text{dim}(S + U) + \text{dim}(S\cap U)\)

另一种新的向量空间⚓︎

这里老师讲到了线性代数“向量空间”思想的一个扩展，也就是在微分方程领域的应用。现在我们要求解如下微分方程：

\[\dfrac{d^2y}{dx^2} + y  = 0\]

可以发现 \(y = \sin x, y = \cos x\)，都可以作为解，这个方程的完整解为 \(y = c_1 \sin x + c_2 \cos x\)。这个解空间的维数是多少？是2，因为包含了两个不同的 \(x\) 的表达式。我们如果把 \(\sin x\) 和 \(\cos x\) 视作是向量，就可以明白维数是2。

解答这个微分方程，实际上可以看作是“找一个微分方程\(y^{''} + y = 0\)的零空间”的过程。线性微分方程的重要内容就是，找到解空间的一组基。这也是为什么线性组合、基、维数如此频繁地在许多领域被使用，而不仅限于 \(m \times n\) 的矩阵中。

秩1矩阵⚓︎

顾名思义，秩1矩阵就是那些秩是1的矩阵，我们为什么对它们感兴趣，是因为它们具有特殊性质，它们可以作为构成矩阵空间的基本模块。

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}\)，这个矩阵，其列空间的维数是1，行空间的维数也是1，秩是1. \(\text{dim}(C(A)) = r = \text{dim}(C(A^T))\)。

它可以被表示为 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}\) 的乘积，也就是1列乘1行的形式（ \(A = UV^T\) ）。实际上每个秩1矩阵都可以表述为1列乘1行的形式，像是一个搭建其他矩阵的积木。

如果我们有一个 \(5 \times 17\) 的矩阵，秩为 \(4\) ，我们可以只用4个秩1矩阵来构建它。保证四个 \(17\) 维的行向量独立，用它们做线性组合就可以了。

延伸

两个秩4矩阵相加（如果其形式符合），它们的和还是秩4矩阵吗？

不一定了，两个秩4矩阵相加的结果可能是秩更高的矩阵。 \(r(A) + r(B) \geq r(A+B)\)

对于 \(5 \times 17\) 的所有秩1矩阵，这是一个子空间吗？

不是。零向量就没有在其中，不可能构成子空间。

一些特殊的向量空间⚓︎

在 \(\mathcal{R}^4\) 中，\(v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix}\)，这个向量满足：各个分量之和为0。我们让 \(S\) 是在\(\mathcal{R}^4\)中所有分量之和为0的向量构成的集合。

这个S是否构成一个子空间？答案是：Yes。那么它的维数和基是什么？

为什么构成子空间？比如对这样一个满足条件的向量，进行加法和数乘运算，分量之和一定还是0.所以集合对加法和数乘封闭。

我们换个思路就可以发现，这里的S实际上是某个矩阵的零空间： \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = 0\)，这个表示是恒成立的。也就是 \(Av = 0\)， \(S\) 等价于 \(N(A), (， \(v\) 构成了\)A\)的零空间。(\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \end{bmatrix})\)。所以\(S\)的维数就是\(A\)的零空间的维数， \(\text{dim}(S) = \text{dim}(N(A)) = 3\)，这里的零空间是三维的，对三个自由变量分别赋值，得到\(S\)的基 \(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} , \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)。

借助 前一章 的结论，我们可以推出很多A矩阵的性质：

这里直接看看矩阵A的4个基本子空间都是什么：

  1. 矩阵 \(A\) 的行空间，维数为1，也就是行向量的任意倍数组成的子空间，一条线；
  2. 矩阵 \(A\) 的零空间，是3维的，要找出零空间的基，特殊解，要求出特殊解，首先要找自由变量，然后分别赋值1和0.
  3. 矩阵 \(A\) 的列空间是一维空间的子集，因为m=1, 每一列只有1个分量。某个数的任意倍数构成了 \(R^1\). 其实也是一条line.
  4. 矩阵A的左零空间呢？就是 \(A\) 转置的零空间，\(m - r = 0\).