列空间和零空间⚓︎

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大纲

向量空间与子空间；
矩阵的列空间；
零空间；
总结：两种构造子空间的方法。

向量空间和子空间⚓︎

具体的概念在前一章已经非常细致地讲过了，可以跳转链接查看。

现在考虑如下问题：假设有两个子空间，一个平面 $P$ 和一个直线 $L$，取它们两个的并集，这个集合是子空间吗？

不是，因为对加法不封闭。取$P$和L$中的任意向量，两者相加，结果可能不在直线或平面上。

继续问，如果是取两者的交集呢？得到的是子空间吗？是的，两者相交，要么是原点，要么是直线本身，都是子空间。

继续扩展，任意两个子空间的交集都是子空间吗？结论是，取任意两个子空间的交集，结果仍然是子空间，只是比原来的小一些罢了。

复习：向量空间必须满足的两个条件：加法封闭和数乘封闭：The sum and scale of multiplications

矩阵的列空间⚓︎

比如这个矩阵：$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$。这个矩阵的每一个列向量都属于 $\mathbb{R}^4$，$A$的列空间是，所有列向量的线性组合形成的向量集。

思考一

思考：这个列空间到底有多大？是 $\mathbb{R}^4$ 这么大，还是只占有了其中的一部分：

这个问题形容很抽象。答案不难给出：仅仅占有了其中的一部分。因为只有三个四维列向量，它们覆盖的顶多是四维空间中的一个三维平面。得不到整个 $\mathbb{R}^4$。但是可以继续追问：什么样的 $b$ 可以使得方程组有解呢？

先给出结论：$Ax = b$ 有解，当且仅当右侧向量 $b$ 是属于 $A$ 的列空间的时候。

I can solve $Ax = b$ exactly when the right-hand side $b$ is a vector in the column space of $A$.

怎么理解：反过来，我们不看 $b$ 向量长啥样，反正它肯定可以得到一个对应的$x$，那么这个 $Ax$ 一定是 $C(A)$ （$A$的列空间）中的一个，也就是 $b$ 一定是 $C(A)$ 中的一个。

这也是为什么我们对列空间感兴趣，因为它是线性代数非常核心的内容，列空间告诉我们方程组何时有解。

关于‘能否填充满整个空间’的解释

参考MIT线性代数笔记第一章。搜索关键词“整个”。

思考二

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$，这三个列向量，是否线性无关？换句话说，是否有一列完全没有贡献，以致它们三个列能表示的列空间，和去掉它之后剩下的两个列能表示的列空间，是完全相同的？

当然是线性相关的，可以看出 col3 = col1 + col2，col3 和col2 与col1线性相关。

这里可以确定一个启发式的规则，就是选择主列的时候，有限考虑靠前的线性无关的向量，这个例子就是取col1, col2即可。它们构成了$\mathbb{R}^4$ 中的一个二维子空间。

零空间（Nullspace）⚓︎

定义：包含 $Ax = 0$ 中的所有解 $x$ 的向量空间。之前的内容是关注 $A$ 的列向量的情况，现在我们只关心 $b = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$ 的情况下 $x$ 的情况。

求解零空间和列空间，一般要用消元法。

比如上面这个矩阵$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ 的零空间是一个 $\mathbb{R}^3$ 上的向量空间，而它的列空间是 $\mathbb{R}^4$ 的。我们把它的零空间记为 $N(A)$ 。

还是上面这个$A$，毫无疑问零向量一定是它的一部分，同时还可以求出最容易看出的 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，这个向量可以加上一个系数，所以 $N(A) = c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ 。这个向量的零空间是过远点的一条直线。

零空间是怎么成为向量空间的

check that the solutions to $Ax = 0$ always give a subspace.

if $Ax = 0, Ax^{*} = 0$, then $A(cx + dx^*)$. QED.

追问：$Ax = b$ 的所有解是否构成子空间？不一定。

比如 $b = \begin{bmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{bmatrix}$, 此时零向量甚至不是它的解，不可能构成一个子空间了。

一个总结

对于列空间而言，矩阵 $A$，取几列，然后做线性组合，然后我们就能构造出来一个向量空间，$C(A)$，这个思路是从列向量出发，通过线性组合，来构建向量空间。
对于零空间而言，我们并不知道其中包含什么向量，我们得自己去找一些向量。已知的信息只有这些向量必须满足的方程组。$N(A)$

前者直观简单，后者多了一步自己计算的过程，从一个方程组中来计算满足特定条件的$x$，再构造子空间。这是两种构造子空间的方法。