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求解 \(Ax = 0\), 主变量、特解⚓︎

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大纲

  1. \(Ax=0\)
  2. \(Ux=0\)
  3. \(Rx=0\)

这一章的内容开始讲怎么具体地求解\(Ax = 0\) 这个问题了。这一块就开始涉及“算法”，具体说就是求解 \(Ax = 0\) 的算法。上一章提到\(Ax = 0\) 的解就是零空间，所以这一章实际上在解决零空间的求解过程。

\(Ax = 0\) 到 \(Ux = 0\)⚓︎

给出\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 &2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix}\)，求解 \(Ax = 0\).

先对A进行消元，首先我们明确右端向量为0，所以不需要做任何计算。

\(A = \begin{bmatrix} \colorbox{yellow}{1} & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \colorbox{yellow}{2} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，这个矩阵叫做“行梯形阵？”Lechelon matrix？，记作\(U\)。于是我们完成了 \(Ax = 0\) 到 \(Ux = 0\) 的转化。

秩

这里注意到，我们已经发现了矩阵中最重要的数字：主元的数量。A 的主元数量 = 2，主元的数量也就等于：矩阵的秩。rank 。这些主元在的列向量就是主变量（pivot），而剩下的列向量就是自由变量（free variables），对应\(A\) 的第二列和第四列。

自由变量的意思是，你可以给它们对应的未知数赋予任意的数值，也就是说，把\((x_2, x_4)\) 给定后，你就可以求\(x_1,x_3\) 了。如果对前面的知识熟悉，这就是“回代”的过程。

求得了自由变量后，分别给他们赋值，回代，求出所有未知数。可以发现解：\(\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\) 和 \(\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。现在，我们找到了零空间两个线性无关的向量，我们可以通过这两个向量求出整个零空间了。我们回代后求出的两个向量，被称为“特解”（special solutions），可以通过特解的线性组合求出整个零空间。

所以零空间为 \(c \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)

对秩的进一步解释：秩的数量，表明了“方程组中起作用的方程”的数量。“不起作用”的意思是这个方程可以被其他方程形成的约束取代。

一个 \(m \times n\) 的矩阵，\(n\)个变量，秩为\(r\), \((n - r)\) 自由变量，这表明有 \(n - r\) 个变量可以自由选取。

\(Ux = 0\) 到 \(Rx = 0\) 形式⚓︎

我们对上面的行梯形矩阵再简化，把每一个主元位置的其余元素都消去。

\(A = \begin{bmatrix} \colorbox{yellow}{1} & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & \colorbox{yellow}{2} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \colorbox{yellow}{1} & 2 & \colorbox{yellow}{0} & -2 \\ \colorbox{yellow}{0} & 0 & \colorbox{yellow}{1} & 2 \\ 0 & 0& 0 & 0 \end{bmatrix}\)，最终的这个矩阵称为“行简化梯形矩阵”，matlab中可以用 rref(A) 获得结果。

这个操作有几个作用：

  1. 立刻看出来主元；
  2. 发现了一个 \(r \times r\) 的单位矩阵。（看主行和主列交汇处，上图高亮部分）
  3. 全为0的行意味着，它是其他行的线性组合。

由于右端项是0，所以 \(Ax = 0, Ux = 0, Rx = 0\) 的解是 相同的，我们把主元和自由变量分离开来看：\(\begin{pmatrix} \text{sol}_1 & 1 & 0 & 2 & -2 \\ \text{sol}_2 &0 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)，只需要将自由变量取负，然后各个位置数字按照自由变量赋值位置，重新组合，我们实际上就已经求出了整个零空间。

你可以对照上面求出的解来看，注意那个 \(x_1\) 对应的 \(2\) 变成了\(\text{sol}_1\) 的 \(-2\)，以此类推。“自由列中数字的相反数显示在了结果里”。

\(\begin{pmatrix} \text{sol}_1 & \colorbox{lightblue}{1} & \colorbox{lightblue}{0} & \colorbox{lightgreen}{2} & \colorbox{lightgreen}{-2} \\ \text{sol}_2 & \colorbox{lightblue}{0}& \colorbox{lightblue}{1} & \colorbox{lightgreen}{0} & \colorbox{lightgreen}{2} \end{pmatrix}\)， \(c \begin{bmatrix} \colorbox{lightgreen}{-2} \\ \colorbox{lightblue}{1} \\ \colorbox{lightgreen}{0} \\ \colorbox{lightblue}{0} \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} \colorbox{lightgreen}{2} \\ \colorbox{lightblue}{0} \\ \colorbox{lightgreen}{-2} \\ \colorbox{lightblue}{1} \end{bmatrix}\)

这个绿色的部分就是“零空间矩阵”（nullspace matrix），它的列数和特解的列数是相同的。

我们复盘一下具体计算过程。

\(R = \begin{bmatrix} I & F \\ O & O \end{bmatrix}\)，其中\(I\) 是一个 \(r\times r\) 的矩阵，\(F\) 是一个 \(r\times (n - r)\) 的矩阵。问题就变成：\(RN = 0\)，求\(N\)。

如果令\(N = \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix}\)，上述是一定成立的。

这里你需要干的事情，只是“确定好自由向量，把1和0分配进去，然后把F矩阵填到主变量对应位置即可。注意上面式子中前后的两个\(I\) 的维度是不一样的，\(R\)矩阵中的\(I\)维度是 \(r \times r\)，放到结果中是\((n - r) \times (n - r)\)。

另一个例子

我们求上面\(A\)矩阵转置的情况：

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \colorbox{yellow}{1} \\ 0 & 1 & \colorbox{yellow}{1} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，最终的解是\(x = c \begin{bmatrix} \colorbox{yellow}{-1} \\ \colorbox{yellow}{-1} \\ 1 \end{bmatrix}\) .

注意，这里只有一个自由变量，不能给它赋值0，因为给了0，其他的都是0了，没意义，这种情况下统一赋值1.

（注意高亮部分矩阵直接加负号对应到主变量即可）

matlab 可以使用null(A)得到零空间矩阵。具体过程是用MatLab先得到R，然后找出主变量和自由变量，然后将1和0分配到自由变量中，然后使用回代求出pivot variables.