随机变量的数字特征

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随机变量函数的数学期望公式

• \(Y = g(X)\) 离散型
• 连续型

离散型：

\(P \{ X = x_k \} = p_k, k = 1,2,..\)

如果级数 \(\sum \limits^{\infty}_{k= 1} x_k p_k\) 绝对收敛，那么称呼 \(\sum \limits^{\infty}_{k= 1} x_k p_k\) 为随机变量的数学期望，记作 \(E(X)\). 如果发散，那么\(X\)的数学期望不存在。

连续型

r.v. X 概率密度函数：f(x)，如果积分 \(\int^{\infty}_{-\infty} xf(x)dx\) 绝对收敛，就把它叫做r.v.X的数学期望（均值）

均值的性质

• \(E(c) = c\) ， \(c\)是常数
• \(E(cX) = cE(X)\)， \(c\)是常数
• \(E(X + Y) = E(X) + E(Y)\)
• 如果\(X，Y\)相互独立，那么 \(E(XY) = E(X)E(Y)\)
• \(| E(XY) |^{2} \leq E(X^2)E(Y^2)\)

4.2 条件期望

利用条件计算期望

• E(X | Y) 表示随机变量Y 的函数，在Y= y处的值为 E(X|Y = y)，这个E(X|Y)本身就是一个随机变量；
• E(X) = E(E(X|Y))

4.3 方差

• 描述了r.v对数学期望的离散程度；

• 实际上就是随机变量的函数\([X - E(X)]^2\)的数学期望。

• \(D(X) = var(X) = E[X - E(X)]^2\)，开根号就是标准差；

• Discrete: \(D(X) = \sum \limits_{k} (x_k - E(X))^2 p_k\)
• Continuous: \(D(X) = \int^{+\infty}_{-\infty} [ x - E(X)]^2 f(x) d(x)\)
• 计算公式\(D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\)

4.4 协方差

• 如何理解协方差：
  • 一个二维随机变量(X,Y)，把两个随机变量都各自减去自己的期望，然后再相乘，此时获得的随机变量的均值就是这个二维随机变量的协方差；

    \(Cov(X,X) = D(X)\)

    \(Cov(X,Y) = Cov(Y,X)\)

    \(Cov(aX, bY) = abCov(X,Y)\)

    \(Cov(X_1 + X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2, Y)\)

皮尔逊相关系数：

\[\rho_{XY} = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} }\]

$ \hspace{6pt}(X-E(X))(Y-E(Y))$

\(= E{ XY - XE(Y) - Y(E(X)) + E(X)E(Y) }\) \(= E(XY) - E(X)E(Y)\)

• 令 均方误差\(e = E(( Y - (a + bX))^2)\)衡量用X表示Y的好坏程度，对 \(e\) 针对\(a, b\) 求偏导，分别令其为0；
  • 均方误差是\(| \rho_{XY} |\) 的严格单调减少函数，当\(| \rho_{XY} |\)较大，此时\(X，Y\)之间线性相关的程度较好，当为0时，不相关。
  • 或者，如果\(E(XY) = E(X)E(Y)\)，就说明是不线性相关的。
• 如何理解协方差矩阵？

  - 从k阶矩、中心矩、混合矩的概念引入;