第 5 章 特征函数 - 习题⚓︎
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本章要点
系统整理特征函数的核心计算方法与再生性证明，涵盖退化、泊松、Γ、正态、二项分布的解析推导及极限定理应用。
一、基本分布的特征函数⚓︎
例题 1：退化分布的特征函数⚓︎
题目内容： 求退化分布（单点分布）\(I(x-c)\) 的特征函数。即随机变量 \(\xi\) 以概率 1 取常数 \(c\)。
答案/解答： 特征函数为：
\[ f(t) = e^{itc} \]
推导： 根据特征函数定义 \(f(t) = E[e^{it\xi}]\)。 因为 \(P(\xi = c) = 1\)，所以：
\[ f(t) = e^{itc} \cdot 1 = e^{itc} \]
考查思路
考查特征函数的基本定义以及最简单分布（退化分布）的计算。
要点重点
- 特征函数定义：\(f(t) = E[e^{it\xi}]\)
- 退化分布是随机变量取定值的情况，其期望即为该定值的函数值
例题 2：泊松分布的特征函数⚓︎
题目内容： 求泊松分布 \(P(\lambda)\) 的特征函数。
答案/解答： 特征函数为：
\[ f(t) = e^{\lambda(e^{it} - 1)} \]
推导： 泊松分布分布律为 \(P(\xi = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, k=0,1,2,\dots\)。
\[ f(t) = \sum_{k=0}^{\infty} e^{itk} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda e^{it}} = e^{\lambda(e^{it} - 1)} \]
考查思路
考查离散型随机变量特征函数的计算公式（级数求和）及指数函数的泰勒展开。
要点重点
- 离散型特征函数公式：\(f(t) = \sum e^{itx_k} p_k\)
- 利用 \(\sum \frac{x^k}{k!} = e^x\) 进行化简
例题 3：\(\Gamma\) 分布的特征函数⚓︎
题目内容： 求 \(\Gamma\) 分布 \(G(\lambda, r)\) 的特征函数。其密度函数为 \(p(x) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x}, x > 0\)。
答案/解答： 特征函数为：
\[ f(t) = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-r} \]
推导：
\[ f(t) = \int_{0}^{\infty} e^{itx} \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} x^{r-1} e^{-\lambda x} dx = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} \int_{0}^{\infty} x^{r-1} e^{-(\lambda - it)x} dx \]
利用 \(\Gamma\) 函数积分性质 \(\int_{0}^{\infty} x^{r-1} e^{-\alpha x} dx = \frac{\Gamma(r)}{\alpha^r}\)，令 \(\alpha = \lambda - it\)：
\[ f(t) = \frac{\lambda^r}{\Gamma(r)} \cdot \frac{\Gamma(r)}{(\lambda - it)^r} = \left( \frac{\lambda}{\lambda - it} \right)^r = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-r} \]
考查思路
考查连续型随机变量特征函数的计算（积分变换）及 \(\Gamma\) 函数的性质。
要点重点
- 连续型特征函数公式：\(f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} p(x) dx\)
- 特征函数是密度函数的傅里叶变换
- 积分技巧：凑 \(\Gamma\) 函数形式
例题 4：正态分布的特征函数⚓︎
题目内容： 求正态分布 \(N(a, \sigma^2)\) 的特征函数。先讨论标准正态分布 \(N(0, 1)\) 的场合。
答案/解答：
-
对于标准正态分布 \(N(0, 1)\)，特征函数为：
\[ f(t) = e^{-\frac{t^2}{2}} \] -
对于一般正态分布 \(N(a, \sigma^2)\)，特征函数为：
\[ f(t) = e^{iat - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2} \]
推导： 对于 \(N(0, 1)\)，密度为 \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\)。
\[ f(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{itx} e^{-\frac{x^2}{2}} dx \]
利用偶函数性质及微分方程法（文中提到 \(\ln f(t)\) 的导数关系），可得 \(f(t) = e^{-\frac{t^2}{2}}\)。
对于 \(N(a, \sigma^2)\)，利用性质 \(\eta = a + \sigma \xi\)（其中 \(\xi \sim N(0,1)\)），根据特征函数性质 \(f_{\eta}(t) = e^{iat} f_{\xi}(\sigma t)\)，代入即得。
考查思路
考查重要分布的特征函数记忆及线性变换性质（性质 6）。
要点重点
- 标准正态分布特征函数 \(e^{-t^2/2}\) 是核心结论
- 线性变换性质：若 \(\eta = a\xi + b\)，则 \(f_{\eta}(t) = e^{ibt} f_{\xi}(at)\)
二、分布的再生性（可加性）⚓︎
例题 5：二项分布的再生性⚓︎
题目内容： 若 \(\xi_1\) 服从二项分布 \(b(n, p)\)，\(\xi_2\) 服从二项分布 \(b(m, p)\)，而且 \(\xi_1\) 与 \(\xi_2\) 独立。求证 \(\eta = \xi_1 + \xi_2\) 服从 \(b(n+m, p)\)。
答案/解答：
证明：
二项分布 \(b(n, p)\) 的特征函数为 \(f(t) = (pe^{it} + q)^n\)，其中 \(q=1-p\)。
由独立性（性质 4），和的特征函数等于特征函数之积：
\[ f_{\eta}(t) = f_{\xi_1}(t) \cdot f_{\xi_2}(t) = (pe^{it} + q)^n \cdot (pe^{it} + q)^m = (pe^{it} + q)^{n+m} \]
这正是参数为 \(n+m\) 和 \(p\) 的二项分布的特征函数。
由唯一性定理知，\(\eta \sim b(n+m, p)\)。
简记作：\(b(n, p) * b(m, p) = b(n+m, p)\)。
考查思路
考查特征函数在判断独立随机变量和的分布中的应用（再生性）。
要点重点
- 独立和的特征函数 = 特征函数的乘积
- 唯一性定理：特征函数唯一决定分布函数
- 二项分布参数 \(p\) 必须相同才具有再生性
例题 6：泊松分布的再生性⚓︎
题目内容： 若 \(\xi_1\) 服从泊松分布 \(\pi(\lambda_1)\)，\(\xi_2\) 服从 \(\pi(\lambda_2)\)，且相互独立。求 \(\eta = \xi_1 + \xi_2\) 的分布。
答案/解答：
解：
泊松分布特征函数为 \(f(t) = e^{\lambda(e^{it}-1)}\)。
\[ f_{\eta}(t) = e^{\lambda_1(e^{it}-1)} \cdot e^{\lambda_2(e^{it}-1)} = e^{(\lambda_1 + \lambda_2)(e^{it}-1)} \]
故 \(\eta\) 服从泊松分布 \(\pi(\lambda_1 + \lambda_2)\)。
简记作：\(\pi(\lambda_1) * \pi(\lambda_2) = \pi(\lambda_1 + \lambda_2)\)。
考查思路
同上，考查泊松分布的再生性。
要点重点
- 参数相加：\(\lambda = \lambda_1 + \lambda_2\)
例题 7：正态分布的再生性⚓︎
题目内容： 若 \(\xi_1\) 服从 \(N(a_1, \sigma_1^2)\)，\(\xi_2\) 服从 \(N(a_2, \sigma_2^2)\)，且相互独立。求 \(\eta = \xi_1 + \xi_2\) 的分布。
答案/解答：
解：
正态分布特征函数为 \(f(t) = e^{iat - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}\)。
\[ f_{\eta}(t) = e^{ia_1 t - \frac{1}{2}\sigma_1^2 t^2} \cdot e^{ia_2 t - \frac{1}{2}\sigma_2^2 t^2} = e^{i(a_1+a_2)t - \frac{1}{2}(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)t^2} \]
故 \(\eta\) 服从 \(N(a_1+a_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\)。
考查思路
考查正态分布的可加性。
要点重点
- 均值相加：\(a = a_1 + a_2\)
- 方差相加：\(\sigma^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2\)
例题 8：\(\Gamma\) 分布的再生性⚓︎
题目内容： 若 \(\xi_1\) 服从 \(G(\lambda, r_1)\)，\(\xi_2\) 服从 \(G(\lambda, r_2)\)，而且 \(\xi_1\) 与 \(\xi_2\) 独立。求 \(\eta = \xi_1 + \xi_2\) 的分布。
答案/解答：
解：
\(\Gamma\) 分布特征函数为 \(f(t) = (1 - \frac{it}{\lambda})^{-r}\)。
\[ f_{\eta}(t) = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-r_1} \cdot \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-r_2} = \left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-(r_1 + r_2)} \]
故 \(\eta\) 服从 \(G(\lambda, r_1 + r_2)\)。
考查思路
考查 \(\Gamma\) 分布的再生性。
要点重点
- 尺度参数 \(\lambda\) 必须相同
- 形状参数相加：\(r = r_1 + r_2\)
三、特征函数的应用⚓︎
应用题 1：利用特征函数求正态分布的数字特征⚓︎
题目内容： 求 \(N(\mu, \sigma^2)\) 分布的数学期望和方差。
答案/解答：
解：
已知 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的特征函数为 \(\varphi(t) = e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}\)。
利用性质：\(E(\xi^k) = \frac{\varphi^{(k)}(0)}{i^k}\)。
-
求一阶导数：
\[ \varphi'(t) = (i\mu - \sigma^2 t) \varphi(t) \]
\[ \varphi'(0) = i\mu \cdot 1 = i\mu \]
\[ E(\xi) = \frac{\varphi'(0)}{i} = \mu \] -
求二阶导数：
\[ \varphi''(t) = -\sigma^2 \varphi(t) + (i\mu - \sigma^2 t)^2 \varphi(t) \]
\[ \varphi''(0) = -\sigma^2 + (i\mu)^2 = -\sigma^2 - \mu^2 \]
\[ E(\xi^2) = \frac{\varphi''(0)}{i^2} = \frac{-\sigma^2 - \mu^2}{-1} = \sigma^2 + \mu^2 \] -
计算方差：
\[ D(\xi) = E(\xi^2) - [E(\xi)]^2 = \sigma^2 + \mu^2 - \mu^2 = \sigma^2 \]
考查思路
考查特征函数与矩的关系（性质 5）。
要点重点
- 矩公式：\(f^{(k)}(0) = i^k E(\xi^k)\)
- 通过求导在 \(t=0\) 处的值来获取矩，避免复杂的积分运算
应用题 2：独立正态变量和的分布⚓︎
题目内容： 设 \(\xi_j (j=1, 2, \dots, n)\) 是相互独立的正态随机变量，\(\xi_j \sim N(a_j, \sigma_j^2)\)。试求 \(\xi = \sum_{j=1}^{n} \xi_j\) 的分布。
答案/解答：
解：
利用特征函数性质 4 推广到 \(n\) 个独立变量：
\[ f_{\xi}(t) = \prod_{j=1}^{n} f_{\xi_j}(t) = \prod_{j=1}^{n} e^{ia_j t - \frac{1}{2}\sigma_j^2 t^2} = e^{i(\sum a_j)t - \frac{1}{2}(\sum \sigma_j^2)t^2} \]
故 \(\xi\) 服从正态分布 \(N\left( \sum_{j=1}^{n} a_j, \sum_{j=1}^{n} \sigma_j^2 \right)\)。
考查思路
考查独立随机变量和的特征函数性质及正态分布的可加性推广。
要点重点
- 独立和的特征函数 = 特征函数的乘积
- 正态分布的和仍为正态分布
应用题 3：证明二项分布收敛于正态分布（棣莫弗 - 拉普拉斯定理）⚓︎
题目内容： 在 \(n\) 重贝努里实验中，事件 \(A\) 每次出现的概率为 \(p (0<p<1)\)，\(\mu_n\) 为 \(n\) 次试验中事件 \(A\) 出现的次数。证明当 \(n \to \infty\) 时，标准化后的 \(\mu_n\) 收敛于标准正态分布。即证明：
\[ \lim_{n \to \infty} P\left\{ \frac{\mu_n - np}{\sqrt{npq}} < x \right\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt \]
答案/解答：
证明思路：
- \(\mu_n\) 服从二项分布 \(b(n, p)\)，可看作 \(n\) 个独立的 0-1 分布变量之和。
- 设 \(\xi_k\) 为第 \(k\) 次试验指示变量，\(E(\xi_k)=p, D(\xi_k)=pq\)。
- 考虑标准化变量 \(\eta_n = \frac{\sum \xi_k - np}{\sqrt{npq}}\)。
- 计算 \(\eta_n\) 的特征函数。利用二项分布特征函数 \((pe^{it} + q)^n\) 及泰勒展开。
- 当 \(n \to \infty\) 时，\(\eta_n\) 的特征函数收敛于 \(e^{-\frac{t^2}{2}}\)（标准正态分布的特征函数）。
- 由连续性定理，分布函数收敛于标准正态分布函数。
考查思路
考查特征函数在证明极限定理（中心极限定理特例）中的应用。
要点重点
- 特征函数收敛 ⇒ 分布函数收敛（连续性定理）
- 泰勒展开在特征函数极限分析中的作用
- 标准化处理：减去均值，除以标准差
应用题 4：泊松分布收敛于正态分布⚓︎
题目内容： 简述泊松分布收敛于正态分布的结论。
答案/解答：
结论：
若 \(\xi_\lambda\) 服从泊松分布 \(P(\lambda)\)，当 \(\lambda \to \infty\) 时，标准化变量 \(\frac{\xi_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\) 的分布收敛于标准正态分布 \(N(0, 1)\)。 即：
\[ \lim_{\lambda \to \infty} P\left\{ \frac{\xi_\lambda - \lambda}{\sqrt{\lambda}} < x \right\} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt \]
考查思路
考查另一类中心极限定理的应用场景。
要点重点
- 泊松分布参数 \(\lambda\) 很大时，可用正态分布近似
- 同样基于特征函数的收敛性证明
四、核心公式速查表⚓︎
| 分布 | 记号 | 特征函数 \(f(t)\) |
|---|---|---|
| 退化分布 | 定值 \(c\) | \(e^{itc}\) |
| 二项分布 | \(b(n, p)\) | \((pe^{it} + q)^n\) |
| 泊松分布 | \(P(\lambda)\) | \(e^{\lambda(e^{it} - 1)}\) |
| \(\Gamma\) 分布 | \(G(\lambda, r)\) | \(\left( 1 - \frac{it}{\lambda} \right)^{-r}\) |
| 正态分布 | \(N(a, \sigma^2)\) | \(e^{iat - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}\) |
| 标准正态 | \(N(0, 1)\) | \(e^{-\frac{t^2}{2}}\) |