复变函数（初级）习题精讲

约 2727 个字 预计阅读时间 9 分钟 总阅读量 次

内容概览

本习题集涵盖复变函数基础考点：共轭复数除法、三角与指数表示、导数定义、C-R 方程、积分路径相关性验证，通过 6 道典型例题系统讲解复变函数核心概念与解题方法。

topics 覆盖范围

题号	主题	核心概念/定理
题目 1	复数除法运算	分母实数化、共轭复数
题目 2	三角与指数表示	欧拉公式、模与辐角
题目 3	复变函数导数	导数定义、极限计算
题目 4	可导性与解析性	柯西 - 黎曼方程
题目 5	积分路径相关性	参数法计算复积分
题目 6	积分路径无关性	柯西积分定理

---

题目 1 复数的除法运算

题目描述：已知 \(z_1=2+3i\)，\(z_2=1-i\)，计算 \(\frac{z_1}{z_2}\)。

答案

\[
\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{1-i}=\frac{(2+3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+3i+3i^2}{1-i^2}=\frac{-1+5i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i
\]

考查思路

本题核心考查复数的除法运算法则，即分母实数化——利用共轭复数的性质将分母转化为实数，再结合复数的乘法运算完成计算。

要点重点

• 复数除法的核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数，消去分母的虚部
• 牢记 \(i^2=-1\)：计算过程中需准确代入化简
• 共轭复数的基本形式：对于 \(z=a+bi\)，其共轭复数 \(\overline{z}=a-bi\)

---

题目 2 复数的三角与指数表示法转化

题目描述：将复数 \(z=1+\sqrt{3}i\) 化为三角表示法和指数表示法。

答案

1. 求复数的模： $$ r=|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})2}=\sqrt{4}=2 $$

2. 求辐角： $$ \theta=\arctan\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{\pi}{3} $$ （该复数在复平面第一象限，取主辐角）

3. 三角表示法： $$ z=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right) $$

4. 指数表示法（欧拉公式 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)）： $$ z=2e^{i\frac{\pi}{3}} $$

考查思路

本题考查复数的模的计算、主辐角的求解以及三角表示法、指数表示法的转化关系，核心依托欧拉公式完成两种表示法的衔接。

要点重点

• 复数模的计算公式：对于 \(z=x+yi\)，\(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
• 主辐角的求解：\(\theta=\arctan\frac{y}{x}\)，需结合复数所在象限确定最终辐角值
• 三角表示法形式：\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)
• 指数表示法形式：\(z=re^{i\theta}\)
• 欧拉公式 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) 是三角与指数表示法转化的关键

---

题目 3 复变函数的导数求解

题目描述：求函数 \(f(z)=z^2\) 的导数。

答案

根据复变函数导数的定义：

\[
f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}
\]

代入 \(f(z)=z^2\) 得：

\[
f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{(z+\Delta z)^2-z^2}{\Delta z}=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{2z\Delta z+(\Delta z)^2}{\Delta z}=\lim_{\Delta z \to 0}(2z+\Delta z)=2z
\]

考查思路

本题考查复变函数导数的定义，要求利用导数的极限定义式完成基本初等复变函数的导数求解，核心是对极限式的化简与极限运算。

要点重点

• 复变函数在点 \(z_0\) 处可导的定义： $$ f'(z_0)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} $$ 该极限存在则函数在该点可导

• 化简极限式：需将分子展开后消去与 \(\Delta z\) 相关的公因子，再代入 \(\Delta z \to 0\) 求极限

• 幂函数导数公式：复变函数中幂函数 \(z^n\) 的导数公式与实变函数一致，即 \((z^n)'=nz^{n-1}\)（本题 \(n=2\)，验证了该公式）

---

题目 4 复变函数的可导性与解析性判定

题目描述：判定下列函数在何处可导，在何处解析：

1. \(f(z)=\overline{z}\)（\(\overline{z}\) 为 \(z\) 的共轭复数，\(z=x+yi,\overline{z}=x-yi\)）
2. \(f(z)=e^x(\cos y+i\sin y)\)

答案

（1）判定 \(f(z)=\overline{z}=x-yi\) 的可导性与解析性

令 \(u(x,y)=x\)，\(v(x,y)=-y\)，分别求一阶偏导数：

\[
\frac{\partial u}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-1
\]

柯西 - 黎曼（C-R）方程要求 \(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) 且 \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)，此处：

\[
\frac{\partial u}{\partial x}=1 \neq \frac{\partial v}{\partial y}=-1
\]

不满足 C-R 方程。

结论

\(f(z)=\overline{z}\) 在复平面内处处不可导，进而处处不解析。

（2）判定 \(f(z)=e^x(\cos y+i\sin y)\) 的可导性与解析性

令 \(u(x,y)=e^x\cos y\)，\(v(x,y)=e^x\sin y\)，分别求一阶偏导数：

\[
\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y,\quad \frac{\partial v}{\partial x}=e^x\sin y,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=e^x\cos y
\]

验证 C-R 方程：

\[
\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\cos y=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-e^x\sin y=-\frac{\partial v}{\partial x}
\]

满足 C-R 方程，且四个一阶偏导数在复平面内处处连续，因此 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在复平面内处处可微。

结论

\(f(z)=e^x(\cos y+i\sin y)\) 在复平面内处处可导，处处解析。

考查思路

本题考查复变函数可导与解析的充要条件，核心依托柯西 - 黎曼方程，结合二元实函数的偏导数求解、连续性判定，完成函数可导性与解析性的判断。

要点重点

• 复变函数 \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 可导的充要条件：
• \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在该点可微

• 满足 C-R 方程：\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\)、\(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)

• 函数在区域 \(D\) 内解析的充要条件：

• \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在 \(D\) 内处处可微

• 处处满足 C-R 方程

• 可导与解析的关系：

• 函数在某点解析 \(\implies\) 函数在该点可导
• 函数在某点可导 \(\nRightarrow\) 函数在该点解析（解析要求在该点的邻域内处处可导）

• 函数在区域内解析与在区域内可导等价

• 偏导数连续 ⇒ 可微：实际判定中，可通过"偏导数连续 + 满足 C-R 方程"直接判定函数可导/解析

---

题目 5 复变函数的积分计算（路径相关性验证）

题目描述：计算积分 \(\int_C \overline{z}dz\)，其中积分路径 \(C\) 分为两种情况：

1. 从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的直线段
2. 从 \((0,0)\) 到 \((1,0)\) 再到 \((1,1)\) 的折线段（\(C=C_1+C_2\)，\(C_1\)：\((0,0)\to(1,0)\)，\(C_2\)：\((1,0)\to(1,1)\)）

答案

（1）路径为从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 的直线段

该直线段的参数方程：\(z(t)=t+it\)，\(t\in[0,1]\)，则 \(\overline{z(t)}=t-it\)，\(dz(t)=(1+i)dt\)。

积分计算：

\[
\int_C \overline{z}dz=\int_0^1 (t-it)(1+i)dt=\int_0^1 t(1-i)(1+i)dt=\int_0^1 t(1-i^2)dt=\int_0^1 2t dt=t^2\big|_0^1=1
\]

（2）路径为从 \((0,0)\) 到 \((1,0)\) 再到 \((1,1)\) 的折线段

• \(C_1\)：\((0,0)\to(1,0)\)

参数方程 \(z(t)=t\)，\(t\in[0,1]\)，\(\overline{z(t)}=t\)，\(dz(t)=dt\)，积分： $$ \int_{C_1} \overline{z}dz=\int_0^1 t\cdot dt=\frac{1}{2}t^2\big|_01=\frac{1}{2} $$

• \(C_2\)：\((1,0)\to(1,1)\)

参数方程 \(z(t)=1+it\)，\(t\in[0,1]\)，\(\overline{z(t)}=1-it\)，\(dz(t)=idt\)，积分： $$ \int_{C_2} \overline{z}dz=\int_0^1 (1-it)i dt=\int_0^1 (i-i^2t)dt=\int_01 (i+t)dt=\left(t+\frac{1}{2}t^{2\right)\big|_0}1 + i\cdot t\big|_0^1=\frac{1}{2}+i $$

• 折线段总积分： $$ \int_C \overline{z}dz=\int_{C_1} \overline{z}dz+\int_{C_2} \overline{z}dz=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+i=1+i $$

结论

两种路径下积分结果不同（\(1 \neq 1+i\)），说明 \(\int_C \overline{z}dz\) 与积分路径相关。

考查思路

本题考查复变函数积分的参数法计算，同时验证复变函数积分的路径相关性——核心是根据积分路径的不同，构造对应的参数方程，将复积分转化为实变量的定积分求解。

要点重点

• 复变函数积分的参数法：若积分路径 \(C\) 的参数方程为 \(z=z(t)\)，\(t\in[\alpha,\beta]\)，则 $$ \int_C f(z)dz=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)dt $$ 这是复积分计算的基本方法

• 共轭复数的参数化：需根据 \(z(t)=x(t)+iy(t)\)，写出 \(\overline{z(t)}=x(t)-iy(t)\)

• 复积分的路径相关性：并非所有复变函数的积分都与路径无关，只有解析函数在单连通区域内的积分才与路径无关（柯西积分定理）；本题中 \(f(z)=\overline{z}\) 非解析函数，因此积分与路径相关

---

题目 6 复变函数的积分计算（路径无关性应用）

题目描述：计算积分 \(\int_C \sin z dz\)，其中 \(C\) 是圆周 \(|z-1|=1\) 的上半周，积分走向从 \(0\) 到 \(2\)。

答案

由于 \(\sin z\) 是全平面内的解析函数，根据柯西积分定理，解析函数在单连通区域内的积分与积分路径无关，仅由起点和终点决定。

因此可将积分路径替换为实轴上从 \(0\) 到 \(2\) 的直线段 \(C_1\)，其参数方程为 \(z(t)=t\)，\(t\in[0,2]\)，\(dz(t)=dt\)，\(\sin z(t)=\sin t\)。

积分计算：

\[
\int_C \sin z dz=\int_{C_1} \sin z dz=\int_0^2 \sin t dt=-\cos t\big|_0^2=1-\cos2
\]

考查思路

本题考查柯西积分定理的应用，核心是利用解析函数积分的路径无关性，将复杂的积分路径（圆周上半周）替换为简单的直线段，简化复积分的计算。

要点重点

• 柯西积分定理：若 \(f(z)\) 在单连通区域 \(D\) 内处处解析，\(C\) 是 \(D\) 内的任意一条简单有向闭曲线，则 $$ \oint_C f(z)dz=0 $$ 推论为：解析函数在单连通区域内的积分仅与起点和终点有关，与积分路径无关

• 常见的全平面解析函数：\(\sin z\)、\(\cos z\)、\(e^z\)、多项式函数等，这类函数在复平面内的积分均可利用路径无关性简化

• 解析函数积分的原函数法：若 \(G(z)\) 是 \(f(z)\) 的一个原函数（即 \(G'(z)=f(z)\)），则 $$ \int_{z_0}^{z_1} f(z)dz=G(z_1)-G(z_0) $$ 本题中 \(\sin z\) 的原函数为 \(-\cos z\)，直接用原函数法可快速求解，与参数法结果一致

---

核心定理速查表

定理/概念	内容	应用场景
共轭复数	\(\overline{a+bi}=a-bi\)	复数除法分母实数化
欧拉公式	\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)	三角形式↔指数形式转化
导数定义	\(f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}\)	基本初等函数求导
C-R 方程	\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\)，\(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)	判定可导性与解析性
柯西积分定理	解析函数在单连通区域内积分与路径无关	简化复积分计算