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第三章 多维随机变量及其分布⚓︎

约 5957 个字 预计阅读时间 20 分钟 总阅读量 次

本章概览

本章包含 15 道经典习题，覆盖二维随机变量的核心考点：

  • 联合分布律：离散型与连续型的计算方法
  • 边缘分布与条件分布：理解变量间的依赖关系
  • 独立性判断：联合分布与边缘分布的关系
  • 函数变换：和、差、积、商、最值的分布推导

第一节 离散型联合分布⚓︎

题目 1：二维离散型随机变量的联合分布律（有放回与无放回）⚓︎

题目描述： 一袋子中有 5 个球，其中 2 个球上标有数字"1"，3 个球上标有数字"0"。采用有放回和无放回两种方式取球，\(X\) 表示第一次取得的数字，\(Y\) 表示第二次取得的数字。求 \((X,Y)\) 的联合分布律。

考查思路： 本题旨在考查二维离散型随机变量联合分布律的计算方法。关键在于区分"有放回"与"无放回"两种抽样方式对概率计算的影响。

  1. 确定随机变量 \((X,Y)\) 的所有可能取值。
  2. 利用乘法公式 \(P(AB) = P(A)P(B|A)\) 计算每种取值组合的概率。
  3. 将结果整理成表格形式。

要点重点：

  • 样本空间分析：\(X, Y\) 的取值均为 \(\{0, 1\}\)，组合为 \((0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\)。
  • 条件概率：无放回抽样中，第二次取球的概率依赖于第一次的结果。
  • 分布律性质：所有概率之和必须为 1。

解答： \((X,Y)\) 的所有可能取值为 \((0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\)。

(1) 有放回取球： 每次取球相互独立。 \(P(X=0) = \frac{3}{5}, \quad P(X=1) = \frac{2}{5}\) \(P(Y=0) = \frac{3}{5}, \quad P(Y=1) = \frac{2}{5}\)

  • \(P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\)
  • \(P(X=1, Y=0) = P(X=1)P(Y=0) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{25}\)
  • \(P(X=0, Y=1) = P(X=0)P(Y=1) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{6}{25}\)
  • \(P(X=1, Y=1) = P(X=1)P(Y=1) = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\)

联合分布律表格：

\(X \setminus Y\) 0 1
0 \(9/25\) \(6/25\)
1 \(6/25\) \(4/25\)

(2) 无放回取球： 第二次取球的概率受第一次影响。

  • \(P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0|X=0) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)
  • \(P(X=1, Y=0) = P(X=1)P(Y=0|X=1) = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}\)
  • \(P(X=0, Y=1) = P(X=0)P(Y=1|X=0) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)
  • \(P(X=1, Y=1) = P(X=1)P(Y=1|X=1) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}\)

联合分布律表格：

\(X \setminus Y\) 0 1
0 \(3/10\) \(3/10\)
1 \(3/10\) \(1/10\)

题目 2：二维离散型随机变量的分布律与分布函数⚓︎

题目描述： 设随机变量 \(X\) 在 \(1, 2, 3, 4\) 四个整数中等可能地取值，随机变量 \(Y\) 则在 \(1 \sim X\) 中等可能地取一整数。

(1) 试求 \((X, Y)\) 的分布律。

(2) 求分布函数值 \(F(4, 3)\)。

考查思路： 本题考查利用全概率公式或乘法公式求解二维离散型随机变量的联合分布律，以及联合分布函数的定义与计算。

  1. 分析 \(X\) 和 \(Y\) 的取值依赖关系。
  2. 利用 \(P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j|X=i)\) 计算联合概率。
  3. 利用分布函数定义 \(F(x, y) = \sum_{x_i \le x, y_j \le y} p_{ij}\) 求和。

要点重点：

  • 条件概率建模：\(Y\) 的取值范围依赖于 \(X\) 的具体取值（\(1 \le Y \le X\)）。
  • 分布函数定义：\(F(x, y)\) 是左下角区域所有概率质量的累加。
  • 不可能事件：当 \(j > i\) 时，\(P(X=i, Y=j) = 0\)。

解答：

(1) 求 \((X, Y)\) 的分布律

\(X\) 的可能取值为 \(1, 2, 3, 4\)，且 \(P(X=i) = \frac{1}{4}\)。

给定 \(X=i\)，\(Y\) 在 \(1, \dots, i\) 中等可能取值，故 \(P(Y=j|X=i) = \frac{1}{i}\) （当 \(1 \le j \le i\)）。

联合概率：

\[P(X=i, Y=j) = P(X=i)P(Y=j|X=i) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{i} = \frac{1}{4i}, \quad (1 \le j \le i \le 4)\]

若 \(j > i\)，则概率为 0。

分布律表格：

\(X \setminus Y\) 1 2 3 4
1 \(1/4\) 0 0 0
2 \(1/8\) \(1/8\) 0 0
3 \(1/12\) \(1/12\) \(1/12\) 0
4 \(1/16\) \(1/16\) \(1/16\) \(1/16\)

(2) 求 \(F(4, 3)\)

根据定义 \(F(4, 3) = P(X \le 4, Y \le 3)\)。

由于 \(X\) 最大取值为 4，故 \(X \le 4\) 包含所有 \(X\) 的情况。只需累加 \(Y \le 3\) 的所有概率。

\[F(4, 3) = \sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^3 P(X=i, Y=j)\]

查表累加 \(Y=1, 2, 3\) 列的所有概率：

  • \(Y=1\) 列和：\(\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{12+6+4+3}{48} = \frac{25}{48}\)
  • \(Y=2\) 列和：\(0 + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{6+4+3}{48} = \frac{13}{48}\)
  • \(Y=3\) 列和：\(0 + 0 + \frac{1}{12} + \frac{1}{16} = \frac{4+3}{48} = \frac{7}{48}\)
\[F(4, 3) = \frac{25}{48} + \frac{13}{48} + \frac{7}{48} = \frac{45}{48} = \frac{15}{16}\]

第二节 连续型联合分布与边缘密度⚓︎

题目 3：二维连续型随机变量的密度函数与概率计算⚓︎

题目描述： 设二维随机变量 \((X, Y)\) 具有概率密度：

\[f(x, y) = \begin{cases} A e^{-(2x+y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

求：(1) 常数 \(A\)；(2) 分布函数 \(F(x, y)\)；(3) 概率 \(P(Y \le X)\)。

考查思路： 本题考查二维连续型随机变量概率密度的性质、分布函数的定义以及特定区域概率的二重积分计算。

  1. 利用归一性 \(\iint f(x,y)dxdy = 1\) 求常数。
  2. 利用定义 \(F(x,y) = \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(u,v) dudv\) 求分布函数。
  3. 确定积分区域 \(G = \{(x,y) | y \le x, x>0, y>0\}\) 并计算二重积分。

要点重点：

  • 归一性：全空间积分等于 1。
  • 分段函数处理：注意 \(x, y\) 的取值范围，非定义域内函数值为 0。
  • 积分区域确定：计算 \(P(Y \le X)\) 时需画出区域图，确定积分上下限。

解答：

(1) 求常数 \(A\)

由 \(\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dx dy = 1\) 得：

\[\int_{0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} A e^{-(2x+y)} dx dy = A \left( \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} dx \right) \left( \int_{0}^{+\infty} e^{-y} dy \right) = 1\]
\[\int_{0}^{+\infty} e^{-2x} dx = \frac{1}{2}, \quad \int_{0}^{+\infty} e^{-y} dy = 1\]
\[A \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1 \implies A = 2\]

(2) 求分布函数 \(F(x, y)\)

当 \(x > 0, y > 0\) 时：

\[F(x, y) = \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} 2 e^{-(2u+v)} dv du = 2 \left( \int_{0}^{x} e^{-2u} du \right) \left( \int_{0}^{y} e^{-v} dv \right)\]
\[= 2 \cdot \left[ -\frac{1}{2} e^{-2u} \right]_0^x \cdot \left[ -e^{-v} \right]_0^y = 2 \cdot \frac{1}{2}(1 - e^{-2x}) \cdot (1 - e^{-y}) = (1 - e^{-2x})(1 - e^{-y})\]

当 \(x \le 0\) 或 \(y \le 0\) 时，\(F(x, y) = 0\)。

综上：

\[F(x, y) = \begin{cases} (1 - e^{-2x})(1 - e^{-y}), & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

(3) 求 \(P(Y \le X)\)

积分区域为 \(D = \{(x, y) | 0 < y \le x < +\infty \}\)。

\[P(Y \le X) = \iint_{D} f(x, y) dx dy = \int_{0}^{+\infty} dx \int_{0}^{x} 2 e^{-(2x+y)} dy\]
\[= \int_{0}^{+\infty} 2 e^{-2x} \left[ -e^{-y} \right]_0^x dx = \int_{0}^{+\infty} 2 e^{-2x} (1 - e^{-x}) dx\]
\[= \int_{0}^{+\infty} (2 e^{-2x} - 2 e^{-3x}) dx = \left[ -e^{-2x} + \frac{2}{3} e^{-3x} \right]_0^{+\infty}\]
\[= (0 + 0) - (-1 + \frac{2}{3}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\]

题目 4：二维均匀分布的边缘密度⚓︎

题目描述： 设 \((X, Y)\) 在区域 \(G\) 上服从均匀分布，其中 \(G\) 是由 \(x\) 轴、\(y\) 轴及直线 \(x+y=1\) 围成的三角形区域。求其边缘概率密度 \(f_X(x)\) 和 \(f_Y(y)\)。

考查思路： 本题考查二维均匀分布的定义及边缘概率密度的计算（积分法）。

  1. 计算区域 \(G\) 的面积 \(A\)，确定联合密度 \(f(x,y) = 1/A\)。
  2. 利用公式 \(f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) dy\) 计算边缘密度，注意积分限随 \(x\) 变化。

要点重点：

  • 均匀分布密度：区域内为常数 \(1/\text{Area}\)，区域外为 0。
  • 积分限确定：对于三角形区域，内部积分限通常是变量的函数（如 \(0\) 到 \(1-x\)）。
  • 结论警示：二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布。

解答：

区域 \(G = \{(x, y) | x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1 \}\)。

面积 \(A = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}\)。

联合概率密度：

\[f(x, y) = \begin{cases} 2, & (x, y) \in G \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

求 \(f_X(x)\)：

当 \(0 \le x \le 1\) 时，对于固定的 \(x\)，\(y\) 的变化范围是 \(0 \le y \le 1-x\)。

\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dy = \int_{0}^{1-x} 2 dy = 2(1-x)\]

当 \(x < 0\) 或 \(x > 1\) 时，\(f_X(x) = 0\)。

故：

\[f_X(x) = \begin{cases} 2(1-x), & 0 \le x \le 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

求 \(f_Y(y)\)：

由对称性可知（或同理计算）：

\[f_Y(y) = \begin{cases} 2(1-y), & 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

题目 5：二维连续型随机变量的边缘密度（多项式型）⚓︎

题目描述： 设 \((X, Y)\) 的概率密度为：

\[f(x, y) = \begin{cases} 6x^2y, & 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

求边缘密度 \(f_X(x)\) 和 \(f_Y(y)\)。

考查思路： 考查边缘密度函数的基本积分计算。

  1. 确认联合密度的非零区域为正方形区域。
  2. 分别对 \(y\) 和 \(x\) 进行定积分。

要点重点：

  • 独立性预判：由于 \(f(x,y)\) 可分离变量为 \(g(x)h(y)\) 且区域为矩形，可预判 \(X, Y\) 独立。
  • 积分计算：注意幂函数的积分公式。

解答：

求 \(f_X(x)\)：

当 \(0 \le x \le 1\) 时：

\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dy = \int_{0}^{1} 6x^2y dy = 6x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 3x^2\]

故：

\[f_X(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 \le x \le 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

求 \(f_Y(y)\)：

当 \(0 \le y \le 1\) 时：

\[f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dx = \int_{0}^{1} 6x^2y dx = 6y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2y\]

故：

\[f_Y(y) = \begin{cases} 2y, & 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

题目 6：二维正态分布的边缘分布⚓︎

题目描述： 设二维随机变量 \((X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)\)。求 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘分布。

考查思路： 本题考查二维正态分布的重要性质。通过积分推导或记忆结论。

  1. 写出二维正态分布的联合密度函数。
  2. 对其中一个变量积分（通常利用配方法或变量代换）。
  3. 识别结果为一维正态分布。

要点重点：

  • 结论记忆：二维正态分布的边缘分布仍为正态分布。
  • 参数对应：\(X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\)，\(Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\)。
  • 无关性：边缘分布与相关系数 \(\rho\) 无关。

解答：

二维正态分布的联合概率密度为：

\[f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[ \frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} - 2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} + \frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2} \right] \right\}\]

通过对 \(y\) 积分（过程略，利用正态分布积分为 1 的性质），可得 \(X\) 的边缘密度：

\[f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} e^{-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}}\]

同理可得 \(Y\) 的边缘密度：

\[f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2} e^{-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}}\]

结论：

\[X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), \quad Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\]

第三节 条件分布⚓︎

题目 7：离散型条件分布律⚓︎

题目描述： 设 \((X, Y)\) 的分布律如下表所示：

\(X \setminus Y\) 5 7 13 18 20
1 0.08 0.01 0 0.02 0.14
2 0.11 0.10 0.09 0.01 0.04
3 0.03 0.07 0.15 0.06 0.09

求在 \(X=2\) 时 \(Y\) 的条件分布律。

考查思路： 考查条件分布律的定义 \(P(Y=y_j | X=x_i) = \frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}\)。

  1. 计算边缘概率 \(P(X=2)\)。
  2. 将 \(X=2\) 行的联合概率除以该边缘概率。

要点重点：

  • 分母不为零：条件事件发生的概率必须大于 0。
  • 归一性检验：条件分布律的所有概率之和应为 1。

解答：

首先计算 \(X=2\) 的边缘概率 \(P(X=2)\)：

\[P(X=2) = 0.11 + 0.10 + 0.09 + 0.01 + 0.04 = 0.35\]

在 \(X=2\) 条件下，\(Y\) 取各值的条件概率为：

  • \(P(Y=5 | X=2) = \frac{0.11}{0.35} = \frac{11}{35}\)
  • \(P(Y=7 | X=2) = \frac{0.10}{0.35} = \frac{10}{35}\)
  • \(P(Y=13 | X=2) = \frac{0.09}{0.35} = \frac{9}{35}\)
  • \(P(Y=18 | X=2) = \frac{0.01}{0.35} = \frac{1}{35}\)
  • \(P(Y=20 | X=2) = \frac{0.04}{0.35} = \frac{4}{35}\)

条件分布律表格：

\(Y\) 5 7 13 18 20
**$P(Y X=2)$** \(11/35\) \(10/35\) \(9/35\) \(1/35\)

题目 8：几何概型与条件概率（保险模型）⚓︎

题目描述： 保险公司认为人可以分为两类：一类易出事故，另一类不易出事故。

  • 易出事故者在一年内发生事故的概率为 0.4。
  • 不易出事故者在一年内发生事故的概率为 0.2。
  • 第一类人（易出事故）占人口比例为 30%。

(1) 现有一个新人来投保，该人在购买保单后一年内将出事故的概率多大？

(2) 若已知某新保险客户在第一年已出过一次事故，问他在保险有效的第二年又出一次事故的条件概率是多大？（假设每年出事故概率独立给定类别）

考查思路： 本题考查全概率公式和贝叶斯公式的应用。

  1. 设事件 \(A\) 为"易出事故"，\(A_1\) 为"第一年出事故"。利用全概率公式求 \(P(A_1)\)。
  2. 利用贝叶斯公式求后验概率 \(P(A | A_1)\)，即已知出事故后属于易出事故类的概率。
  3. 再次利用全概率公式，基于更新后的类别概率求第二年出事故的概率。

要点重点：

  • 全概率公式：\(P(B) = \sum P(B|A_i)P(A_i)\)。
  • 贝叶斯更新：事故发生后，客户属于高风险类别的概率会增加。
  • 条件独立性：在给定类别条件下，不同年份的事故视为独立。

解答：

设 \(A\) 表示"投保人为易出事故者"，\(\bar{A}\) 表示"不易出事故者"。 设 \(A_i\) 表示"第 \(i\) 年出事故"。

已知：\(P(A) = 0.3, P(\bar{A}) = 0.7\)。 \(P(A_1 | A) = 0.4, \quad P(A_1 | \bar{A}) = 0.2\)。

(1) 求 \(P(A_1)\)

\[P(A_1) = P(A_1 | A)P(A) + P(A_1 | \bar{A})P(\bar{A}) = 0.4 \times 0.3 + 0.2 \times 0.7 = 0.12 + 0.14 = 0.26\]

(2) 求 \(P(A_2 | A_1)\)

首先利用贝叶斯公式更新客户类别的概率：

\[P(A | A_1) = \frac{P(A_1 | A)P(A)}{P(A_1)} = \frac{0.4 \times 0.3}{0.26} = \frac{0.12}{0.26} = \frac{6}{13}\]
\[P(\bar{A} | A_1) = 1 - \frac{6}{13} = \frac{7}{13}\]

假设在给定类别下，第二年出事故概率与第一年相同（即 \(P(A_2|A) = 0.4, P(A_2|\bar{A}) = 0.2\)），且年份间条件独立。

\[P(A_2 | A_1) = P(A_2 | A, A_1)P(A | A_1) + P(A_2 | \bar{A}, A_1)P(\bar{A} | A_1)\]

由于给定类别后年份独立：

\[P(A_2 | A_1) = P(A_2 | A)P(A | A_1) + P(A_2 | \bar{A})P(\bar{A} | A_1)\]
\[= 0.4 \times \frac{6}{13} + 0.2 \times \frac{7}{13} = \frac{2.4 + 1.4}{13} = \frac{3.8}{13} \approx 0.292\]

题目 9：圆域均匀分布的条件密度与分布函数⚓︎

题目描述： 设 \((X, Y)\) 在圆域 \(x^2 + y^2 \le 1\) 上服从均匀分布。

(1) 求条件概率密度 \(f_{X|Y}(x|y)\) 和 \(f_{Y|X}(y|x)\)。

(2) 求条件分布函数 \(F_{Y|X}(y|x)\)。

(3) 求 \(P(0 \le Y \le \frac{1}{2} | X = \frac{1}{2})\)。

考查思路： 考查连续型条件概率密度的定义及积分计算。

  1. 写出联合密度 \(f(x,y)\) 和边缘密度 \(f_X(x), f_Y(y)\)。
  2. 利用公式 \(f_{X|Y} = f/f_Y\) 求条件密度。
  3. 对条件密度积分求条件分布函数及特定概率。

要点重点：

  • 支撑集变化：条件密度的非零区域依赖于条件变量的取值（如给定 \(Y=y\)，\(X\) 的范围是 \([-\sqrt{1-y^2}, \sqrt{1-y^2}]\)）。
  • 均匀性：在给定截面线上，条件分布仍然是均匀分布。

解答：

联合密度：\(f(x, y) = \frac{1}{\pi}, \quad x^2+y^2 \le 1\)。

边缘密度（见题目 4 类似推导，但此处为圆）： \(f_Y(y) = \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} \frac{1}{\pi} dx = \frac{2\sqrt{1-y^2}}{\pi}, \quad |y| < 1\)。

(1) 条件概率密度

当 \(|y| < 1\) 时：

\[f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x, y)}{f_Y(y)} = \frac{1/\pi}{2\sqrt{1-y^2}/\pi} = \frac{1}{2\sqrt{1-y^2}}, \quad -\sqrt{1-y^2} \le x \le \sqrt{1-y^2}\]

即在给定 \(Y=y\) 条件下，\(X\) 服从区间 \([-\sqrt{1-y^2}, \sqrt{1-y^2}]\) 上的均匀分布。

同理，当 \(|x| < 1\) 时：

\[f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}, \quad -\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}\]

(2) 条件分布函数 \(F_{Y|X}(y|x)\)

固定 \(x \in (-1, 1)\)。

当 \(y < -\sqrt{1-x^2}\) 时，\(F = 0\)。 当 \(y > \sqrt{1-x^2}\) 时，\(F = 1\)。

当 \(-\sqrt{1-x^2} \le y \le \sqrt{1-x^2}\) 时：

\[F_{Y|X}(y|x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{y} \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} dt = \frac{y - (-\sqrt{1-x^2})}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{y + \sqrt{1-x^2}}{2\sqrt{1-x^2}}\]

(3) 求概率

给定 \(X = \frac{1}{2}\)，则 \(Y\) 的条件分布区间为 \([-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}]\)，长度为 \(\sqrt{3}\)。

条件密度为 \(f_{Y|X}(y|\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)。

\[P(0 \le Y \le \frac{1}{2} | X = \frac{1}{2}) = \int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{3}} dy = \frac{1/2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}\]

(注：若利用分布函数计算：\(F_{Y|X}(1/2 | 1/2) - F_{Y|X}(0 | 1/2)\))

第四节 随机变量函数的分布⚓︎

题目 10：随机变量函数的分布（离散型）⚓︎

题目描述： 设二维随机变量 \((X,Y)\) 的分布律为：

\(X \setminus Y\) 0 1
0 \(3/10\) \(3/10\)
1 \(3/10\) \(1/10\)

试求：(1) \(Z_1 = X+Y\) 的分布律；(2) \(Z_2 = XY\) 的分布律；(3) \(Z_3 = \max\{X, Y\}\) 的分布律。

考查思路： 考查离散型随机变量函数的分布求法。

  1. 列出所有 \((X, Y)\) 取值组合及其概率。
  2. 计算每种组合对应的函数值 \(Z\)。
  3. 合并相同 \(Z\) 值的概率。

要点重点：

  • 一一对应与合并：不同的 \((X,Y)\) 可能对应相同的 \(Z\) 值，需概率相加。
  • 完备性：新分布律之和仍为 1。

解答：

所有可能情况及对应函数值：

  1. \((0,0), p=0.3 \implies Z_1=0, Z_2=0, Z_3=0\)
  2. \((0,1), p=0.3 \implies Z_1=1, Z_2=0, Z_3=1\)
  3. \((1,0), p=0.3 \implies Z_1=1, Z_2=0, Z_3=1\)
  4. \((1,1), p=0.1 \implies Z_1=2, Z_2=1, Z_3=1\)

(1) \(Z_1 = X+Y\)

  • \(Z_1=0: p = 0.3\)
  • \(Z_1=1: p = 0.3 + 0.3 = 0.6\)
  • \(Z_1=2: p = 0.1\)

分布律：

\(Z_1\) 0 1 2
\(P\) \(0.3\) \(0.6\) \(0.1\)

(2) \(Z_2 = XY\)

  • \(Z_2=0: p = 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.9\)
  • \(Z_2=1: p = 0.1\)

分布律：

\(Z_2\) 0 1
\(P\) \(0.9\) \(0.1\)

(3) \(Z_3 = \max\{X, Y\}\)

  • \(Z_3=0: p = 0.3\)
  • \(Z_3=1: p = 0.3 + 0.3 + 0.1 = 0.7\)

分布律：

\(Z_3\) 0 1
\(P\) \(0.3\) \(0.7\)

题目 11：独立随机变量和的分布（卷积公式）⚓︎

题目描述： 设 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，且都服从 \(N(0, 1)\)。求 \(Z = X+Y\) 的分布密度。

考查思路： 考查独立正态随机变量和的性质及卷积公式的应用。

  1. 方法一：利用正态分布可加性结论直接写出。
  2. 方法二：利用卷积公式 \(f_Z(z) = \int f_X(x)f_Y(z-x)dx\) 推导。

要点重点：

  • 正态可加性：独立正态变量之和仍为正态，均值相加，方差相加。
  • 卷积积分技巧：配方积分，利用 \(\int e^{-t^2}dt = \sqrt{\pi}\)。

解答：

方法一（性质法）：

因为 \(X \sim N(0, 1), Y \sim N(0, 1)\) 且独立。

所以 \(Z = X+Y \sim N(0+0, 1+1) = N(0, 2)\)。

密度函数为：

\[f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 2}} e^{-\frac{z^2}{2 \cdot 2}} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{z^2}{4}}\]

方法二（卷积法）：

\[f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(z-x)^2}{2}} dx\]
\[= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}[x^2 + (z-x)^2]} dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}[2x^2 - 2zx + z^2]} dx\]

配方指数部分：\(2x^2 - 2zx + z^2 = 2(x - \frac{z}{2})^2 + \frac{z^2}{2}\)。

\[f_Z(z) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{z^2}{4}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x - \frac{z}{2})^2} dx\]

令 \(t = x - \frac{z}{2}\)，利用 \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}\)：

\[f_Z(z) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{z^2}{4}} \cdot \sqrt{\pi} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} e^{-\frac{z^2}{4}}\]

题目 11.1 （补充）⚓︎

设随机变量 \(X,Y\) 相互独立，且 \(X \sim \pi(\lambda_1)\)，\(Y \sim \pi(\lambda_2)\)，求证 [ Z = X + Y \sim \pi(\lambda_1 + \lambda_2). ]

证：

\(Z = X + Y\) 可能的取值为 \(0, 1, 2, \dots\)，且 [ {X + Y = k} = \bigcup_{i=0}^{k} {X = i, Y = k - i} ]

由概率的有限可加性及 \(X,Y\) 的独立性可得：

\[
\begin{align*}
P\{Z = k\} &= P\{X + Y = k\} = P\left\{\bigcup_{i=0}^{k}\{X = i, Y = k - i\}\right\} \\
&= \sum_{i=0}^{k} P\{X = i, Y = k - i\} = \sum_{i=0}^{k} P\{X = i\}P\{Y = k - i\} \\
&= \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda_1^i}{i!} e^{-\lambda_1} \cdot \frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!} e^{-\lambda_2} \\
&= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{k!} (\lambda_1 + \lambda_2)^k \quad (k = 0, 1, 2, \dots)
\end{align*}
\]

其中用到二项式展开：

\[
(\lambda_1 + \lambda_2)^k = \sum_{i=0}^{k} C_k^i \lambda_1^i \lambda_2^{k-i} = \sum_{i=0}^{k} \frac{k!}{i!(k-i)!} \lambda_1^i \lambda_2^{k-i}
\]

题目 12：最大值与最小值的分布（系统可靠性）⚓︎

题目描述： 两个部件 \(L_1, L_2\) 独立工作，其寿命 \(X, Y\) 均服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布。

(1) 若组成串联系统（有一个失效则系统失效），求系统寿命 \(T = \min(X, Y)\) 的分布。

(2) 若组成并联系统（都失效系统才失效），求系统寿命 \(T = \max(X, Y)\) 的分布函数。

考查思路： 考查最大值与最小值分布函数的公式应用。

  1. 写出 \(X, Y\) 的分布函数 \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)。
  2. 串联系统对应最小值分布：\(F_{\min}(z) = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]\)。
  3. 并联系统对应最大值分布：\(F_{\max}(z) = F_X(z)F_Y(z)\)。

要点重点：

  • 物理意义：串联看短板（最小值），并联看长板（最大值）。
  • 指数分布特性：独立指数分布的最小值仍服从指数分布（参数相加）。

解答：

\(X, Y\) 的分布函数均为 \(F(t) = 1 - e^{-\lambda t} \quad (t \ge 0)\)。

(1) 串联系统 \(T = \min(X, Y)\)

\[F_T(t) = 1 - [1 - F_X(t)][1 - F_Y(t)] = 1 - [e^{-\lambda t} \cdot e^{-\lambda t}] = 1 - e^{-2\lambda t}, \quad t \ge 0\]

即 \(T\) 服从参数为 \(2\lambda\) 的指数分布。

(2) 并联系统 \(T = \max(X, Y)\)

\[F_T(t) = F_X(t) F_Y(t) = (1 - e^{-\lambda t})^2 = 1 - 2e^{-\lambda t} + e^{-2\lambda t}, \quad t \ge 0\]

(注：此时不再是指数分布)

题目 13：随机变量函数的联合分布（变量代换法）⚓︎

题目描述： 设 \(X_1, X_2\) 为联合连续的随机变量，其联合密度函数为 \(f_{X_1, X_2}(x_1, x_2)\)。

令 \(Y_1 = X_1 + X_2, Y_2 = X_1 - X_2\)。求出 \(Y_1, Y_2\) 的联合密度函数。

考查思路： 考查二维随机变量函数的联合分布求法（雅可比行列式法）。

  1. 建立变换方程组，反解出 \(x_1, x_2\)。
  2. 计算雅可比行列式 \(J\)。
  3. 代入公式 \(f_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = f_{X_1, X_2}(x_1, x_2) \cdot |J|^{-1}\)。

要点重点：

  • 一一映射：变换必须是可逆的。
  • 雅可比行列式：\(J = \det(\frac{\partial(x_1, x_2)}{\partial(y_1, y_2)})\) 或直接求 \(\det(\frac{\partial(y_1, y_2)}{\partial(x_1, x_2)})\) 后取倒数。
  • 定义域变换：注意新变量 \(y_1, y_2\) 的取值范围。

解答：

变换方程：

\[\begin{cases} y_1 = x_1 + x_2 \\ y_2 = x_1 - x_2 \end{cases}\]

反解得：

\[\begin{cases} x_1 = \frac{y_1 + y_2}{2} \\ x_2 = \frac{y_1 - y_2}{2} \end{cases}\]

计算雅可比行列式 \(J\)（从 \(x\) 到 \(y\)）：

\[J = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial y_1}{\partial x_1} & \frac{\partial y_1}{\partial x_2} \\ \frac{\partial y_2}{\partial x_1} & \frac{\partial y_2}{\partial x_2} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -1 - 1 = -2\]

或者计算从 \(y\) 到 \(x\) 的行列式 \(J^*\)：

\[J^* = \det \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2}\]

公式中使用 \(|J^*|\) 或 \(1/|J|\)，值为 \(1/2\)。

联合密度函数为：

\[f_{Y_1, Y_2}(y_1, y_2) = f_{X_1, X_2}\left( \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{y_1 - y_2}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}\]

(具体表达式取决于 \(f_{X_1, X_2}\) 的具体形式，此处给出通用公式)

第五节 独立性与综合应用⚓︎

题目 14：独立性与联合分布律的参数确定⚓︎

题目描述： 已知 \((X, Y)\) 的分布律为：

\(X \setminus Y\) 1 2 3
1 \(1/6\) \(1/9\) \(1/18\)
2 \(1/3\) \(\alpha\) \(\beta\)

(1) 求 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 应满足的条件。

(2) 若 \(X\) 与 \(Y\) 相互独立，求 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的值。

考查思路： 考查分布律的归一性及独立性的充要条件 \(p_{ij} = p_{i\cdot} p_{\cdot j}\)。

  1. 利用概率和为 1 建立方程。
  2. 利用独立性建立方程组求解。

要点重点：

  • 非负性：\(\alpha, \beta \ge 0\)。
  • 独立性方程：任意格子的概率等于行边缘乘列边缘。

解答：

(1) 基本条件

所有概率之和为 1：

\[\frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{1}{18} + \frac{1}{3} + \alpha + \beta = 1\]
\[\frac{3+2+1}{18} + \frac{6}{18} + \alpha + \beta = 1 \implies \frac{12}{18} + \alpha + \beta = 1 \implies \alpha + \beta = \frac{1}{3}\]

且 \(\alpha \ge 0, \beta \ge 0\)。

(2) 独立性条件

计算边缘分布：

\(P(X=1) = 1/6 + 1/9 + 1/18 = 6/18 = 1/3\)。 \(P(X=2) = 1 - 1/3 = 2/3\)。 \(P(Y=1) = 1/6 + 1/3 = 1/2\)。 \(P(Y=2) = 1/9 + \alpha\)。 \(P(Y=3) = 1/18 + \beta\)。

利用 \(p_{22} = P(X=2)P(Y=2)\)：

\[\alpha = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{9} + \alpha \right) \implies \alpha = \frac{2}{27} + \frac{2}{3}\alpha \implies \frac{1}{3}\alpha = \frac{2}{27} \implies \alpha = \frac{2}{9}\]

利用 \(\alpha + \beta = 1/3\)：

\[\beta = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}\]

(验证：\(p_{23} = 1/9, P(X=2)P(Y=3) = \frac{2}{3}(\frac{1}{18}+\frac{1}{9}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{18} = \frac{1}{9}\)，成立)

结果： \(\alpha = 2/9, \beta = 1/9\)。

题目 15：商与积的分布（指数分布例）⚓︎

题目描述： 设 \(X, Y\) 分别表示两只不同型号灯泡的寿命，相互独立。它们的概率密度依次为：

\[f_X(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}, \quad f_Y(y) = \begin{cases} 2e^{-2y}, & y > 0 \\ 0, & y \le 0 \end{cases}\]

试求 \(Z = X/Y\) 的概率密度函数。

考查思路： 考查两个独立随机变量商的分布公式。

  1. 利用公式 \(f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} |y| f_X(zy) f_Y(y) dy\)。
  2. 确定积分的有效区域（\(x>0, y>0 \implies z>0\)）。

要点重点：

  • 公式选择：商的分布公式含 \(|y|\) 因子。
  • 积分限：根据 \(zy > 0\) 和 \(y > 0\) 确定 \(y\) 的积分范围。

解答：

当 \(z \le 0\) 时，\(f_Z(z) = 0\)。

当 \(z > 0\) 时：

\[f_Z(z) = \int_{0}^{+\infty} y \cdot f_X(zy) \cdot f_Y(y) dy\]

代入密度函数（注意 \(zy > 0\) 自动满足）：

\[f_Z(z) = \int_{0}^{+\infty} y \cdot e^{-zy} \cdot 2e^{-2y} dy = 2 \int_{0}^{+\infty} y e^{-(z+2)y} dy\]

利用伽玛函数性质 \(\int_0^\infty y e^{-ay} dy = \frac{1}{a^2}\)：

\[f_Z(z) = 2 \cdot \frac{1}{(z+2)^2} = \frac{2}{(z+2)^2}\]

综上：

\[f_Z(z) = \begin{cases} \frac{2}{(z+2)^2}, & z > 0 \\ 0, & z \le 0 \end{cases}\]