第4章习题集 - 随机变量的数字特征⚓︎

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本章核心

38 道习题覆盖期望、条件期望、方差、协方差全部考点，重点掌握指示变量法、全期望公式、条件方差公式等核心解题技巧。

4.1 随机变量的数学期望⚓︎

题目 1：射击技术评定（期望）⚓︎

考查思路：

离散型随机变量数学期望的定义与应用。
通过期望值比较随机变量的平均水平。

知识点：

离散型期望公式：$E(X) = \sum x_k p_k$。
期望的实际意义（平均值）。

题目：

甲、乙两人进行打靶，所射中环数分别记为 $X_1, X_2$，它们的分布律分别为：

$X_1$	8	9	10
$p_k$	0.3	0.1	0.6

$X_2$	8	9	10
$p_k$	0.2	0.5	0.3

试评定他们射击技术的好坏。

解答：

计算甲的平均环数：

\[E(X_1) = 8 \times 0.3 + 9 \times 0.1 + 10 \times 0.6 = 2.4 + 0.9 + 6.0 = 9.3\]

计算乙的平均环数：

\[E(X_2) = 8 \times 0.2 + 9 \times 0.5 + 10 \times 0.3 = 1.6 + 4.5 + 3.0 = 9.1\]

结论：因为 $E(X_1) > E(X_2)$，平均起来甲每枪射中 9.3 环，乙射中 9.1 环，因此甲的技术要好些。

题目 2：掷骰子点数期望⚓︎

考查思路：

古典概型下的离散型期望计算。

知识点：

均匀分布的离散型期望。

题目：

设 $X$ 为投掷一颗骰子时出现的点数，求 $X$ 的数学期望。

解答：

$X$ 的分布律为 $P\{X=i\} = 1/6, i=1, 2, ..., 6$。

\[E(X) = \sum_{i=1}^{6} i \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = \frac{21}{6} = 3.5\]

题目 3：柯西分布的期望存在性⚓︎

考查思路：

数学期望存在的充要条件（绝对收敛）。
广义积分的发散性判断。

知识点：

若 $\int_{-\infty}^{+\infty} |x|f(x)dx$ 发散，则期望不存在。

题目：

设 $X$ 服从柯西分布，其密度为 $f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}, -\infty < x < +\infty$。判断 $X$ 的数学期望是否存在。

解答：

考察积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x) dx$：

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|x|}{\pi(1+x^2)} dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{\pi} [\ln(1+x^2)]_{0}^{+\infty} = +\infty\]

结论：由于积分发散，柯西分布的数学期望不存在。

题目 4：拉普拉斯分布的期望⚓︎

考查思路：

连续型随机变量期望的计算。
利用函数的奇偶性简化积分。

知识点：

连续型期望公式：$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$。

题目：

设 $X$ 的概率密度为 $f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|}, -\infty < x < +\infty$，求 $E(X)$。

解答：

\[E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{2}e^{-|x|} dx\]

由于被积函数 $x e^{-|x|}$ 是奇函数，积分区间对称，故：

\[E(X) = 0\]

题目 5：标准正态变量平方的期望⚓︎

考查思路：

随机变量函数的期望公式。
分部积分法或利用方差公式间接求解。

知识点：

$E(g(X)) = \int g(x)f(x)dx$。
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。

题目：

设 $X \sim N(0, 1)$，求 $E(X^2)$。

解答：

方法一（直接积分）：

\[E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx = 1\]

方法二（利用方差）：

已知 $X \sim N(0, 1)$，则 $E(X)=0, D(X)=1$。

由 $D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$，得 $1 = E(X^2) - 0$，故 $E(X^2) = 1$。

题目 6：库存优化问题（均匀分布）⚓︎

考查思路：

期望在实际决策中的应用。
分段函数的期望计算及极值求解。

知识点：

均匀分布密度函数。
利润函数的期望最大化。

题目：

某商品的市场需求量 $X$ 服从 $[2000, 4000]$ 上的均匀分布，每售出一吨挣 3 万元，售不出则每吨需保养费 1 万元。问应组织多少货源才能使收益最大？

解答：

设进货量为 $y$ ($2000 \le y \le 4000$)，收益为 $Z$。

\[Z = H(X) = \begin{cases} 3y, & X \ge y \\ 3X - (y-X), & X < y \end{cases} = \begin{cases} 3y, & X \ge y \\ 4X - y, & X < y \end{cases}\]

$X$ 的密度为 $f(x) = \frac{1}{2000}, 2000 \le x \le 4000$。

期望收益：

\[E(Z) = \int_{2000}^{y} (4x-y)\frac{1}{2000} dx + \int_{y}^{4000} 3y \frac{1}{2000} dx\]

计算得：

\[E(Z) = \frac{1}{1000} [-y^2 + 7000y - 4 \times 10^6]\]

对 $y$ 求导并令为 0，解得 $y = 3500$。

结论：组织 3500 吨货源是最好的决策。

题目 7：二维随机变量函数的期望⚓︎

考查思路：

二维连续型随机变量函数的期望公式。

知识点：

$E[g(X,Y)] = \iint g(x,y)f(x,y) dx dy$。

题目：

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y) = \begin{cases} x+y, & 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$，求 $E(XY)$。

解答：

\[E(XY) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} xy (x+y) dx dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (x^2y + xy^2) dx dy\]

\[= \int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{3}x^3y + \frac{1}{2}x^2y^2 \right]_{0}^{1} dy = \int_{0}^{1} (\frac{1}{3}y + \frac{1}{2}y^2) dy = \left[ \frac{1}{6}y^2 + \frac{1}{6}y^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\]

题目 8：二项分布期望的分解法⚓︎

考查思路：

利用期望的线性性质简化复杂分布的期望计算。
引入指示变量（Indicator Variables）。

知识点：

$E(\sum X_i) = \sum E(X_i)$。
0-1 分布期望为 $p$。

题目：

设 $X \sim B(n, p)$，利用分解法求期望 $E(X)$。

解答：

引入随机变量 $X_i (i=1, ..., n)$，表示第 $i$ 次试验结果（发生为 1，不发生为 0）。

则 $X_i \sim (0-1)$ 分布，$E(X_i) = p$。

且 $X = \sum_{i=1}^{n} X_i$。

由期望线性性质：

\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} E(X_i) = \sum_{i=1}^{n} p = np\]

题目 9：民航客车停车次数期望⚓︎

考查思路：

复杂背景下的期望计算。
指示变量法的典型应用。

知识点：

对立事件概率。
期望线性性质（不要求独立性）。

题目：

一民航送客车载有 20 位旅客，有 10 个车站可以下车。如到达一个车站没有旅客下车就不停车。设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立。以 $X$ 表示停车的次数，求 $E(X)$。

解答：

引入指示变量 $X_i (i=1, ..., 10)$：

\[X_i = \begin{cases} 1, & \text{第 } i \text{ 站有人下车} \\ 0, & \text{第 } i \text{ 站无人下车} \end{cases}\]

则 $X = \sum_{i=1}^{10} X_i$。

任一旅客在第 $i$ 站不下车的概率为 $0.9$，20 位旅客都不在第 $i$ 站下车的概率为 $0.9^{20}$。

故 $P(X_i=1) = 1 - 0.9^{20}$，$E(X_i) = 1 - 0.9^{20}$。

\[E(X) = \sum_{i=1}^{10} E(X_i) = 10 \times (1 - 0.9^{20}) \approx 8.78\]

4.2 条件期望⚓︎

题目 10：二项分布的条件期望⚓︎

考查思路：

条件分布的推导。
超几何分布的期望。

知识点：

条件概率公式。
对称性在期望计算中的应用。

题目：

设 $X$ 和 $Y$ 是独立同分布的二项分布随机变量，参数为 $(n, p)$。计算在 $X+Y=m$ 的条件下 $X$ 的条件期望 $E(X | X+Y=m)$。

解答：

首先计算条件分布列，可证在给定 $X+Y=m$ 条件下，$X$ 服从超几何分布。

利用对称性：

\[E(X | X+Y=m) = E(Y | X+Y=m)\]

又 $E(X+Y | X+Y=m) = m$，故：

\[2E(X | X+Y=m) = m \implies E(X | X+Y=m) = \frac{m}{2}\]

题目 11：矿工迷宫问题（递归期望）⚓︎

考查思路：

全期望公式的应用。
建立递归方程求解期望。

知识点：

$E(X) = \sum E(X|Y=y_i)P(Y=y_i)$。
递归思想。

题目：

矿工在有三道门的迷宫中，第一道门走 3 小时出迷宫，第二道门走 5 小时回原处，第三道门走 7 小时回原处。假设等可能选择。求出迷宫所需时间 $X$ 的期望。

解答：

设 $X$ 为出迷宫所需时间，$Y$ 为选择的门号。

\[E(X) = \frac{1}{3}E(X|Y=1) + \frac{1}{3}E(X|Y=2) + \frac{1}{3}E(X|Y=3)\]

其中：

$E(X|Y=1) = 3$
$E(X|Y=2) = 5 + E(X)$ （回到原地，期望不变）
$E(X|Y=3) = 7 + E(X)$

代入方程：

\[E(X) = \frac{1}{3}(3 + 5 + E(X) + 7 + E(X))\]

\[3E(X) = 15 + 2E(X) \implies E(X) = 15 \text{ 小时}\]

题目 12：随机营业额的期望⚓︎

考查思路：

随机个随机变量之和的期望（Wald 等式）。
条件期望的性质。

知识点：

$E(\sum_{i=1}^{N} X_i) = E(N)E(X)$ （当 $N$ 与 $X_i$ 独立时）。

题目：

某日进店人数 $N$ 均值为 50，每人消费 $X$ 均值为 8 元，且人数与消费额独立。求总营业额的期望。

解答：

设总营业额 $S = \sum_{i=1}^{N} X_i$。

利用条件期望：

\[E(S) = E[E(S|N)] = E[N \cdot E(X)] = E(N)E(X)\]

\[E(S) = 50 \times 8 = 400 \text{ 元}\]

题目 13：均匀随机数和超过 1 的个数期望⚓︎

考查思路：

连续型全期望公式。
积分方程的求解。

知识点：

$m(x) = 1 + \int_{0}^{x} m(x-y) dy$。

题目：

要在 (0,1) 区间上取多少个随机数，其和才能超过 1？求个数 $N$ 的期望。

解答：

设 $m(x)$ 为和超过 $x$ 所需的期望个数。对第一个数 $y$ 取条件：

\[m(x) = 1 + \int_{0}^{x} m(x-y) dy\]

求导得 $m'(x) = m(x)$，且 $m(0)=1$。

解得 $m(x) = e^x$。

当 $x=1$ 时，$E(N) = m(1) = e \approx 2.718$。

题目 14：掷骰子"Craps"游戏期望⚓︎

考查思路：

复杂博弈过程中的期望计算。
几何分布与条件期望结合。

知识点：

全期望公式。
几何分布期望 $1/p$。

题目：

掷两枚骰子，若点数和为 7 或 11 则赢，2, 3, 12 则输。若为其他点数 $i$，则继续掷直到出现 7 或 $i$。若先出现 $i$ 则赢，先出现 7 则输。求掷骰子次数 $R$ 的期望。

解答：

记 $S$ 为第一次掷出点数。

\[E(R) = \sum_{i} E(R|S=i)P(S=i)\]

若 $i \in \{7, 11\}$ 或 $\{2, 3, 12\}$，$R=1$。

若 $i \in \{4,5,6,8,9,10\}$，需继续掷，直到出现 $i$ 或 7。这服从几何分布，参数 $p_i = P(i) + P(7)$。

期望次数为 $1 + \frac{1}{p_i}$（含第一次）。

综合计算得 $E(R) \approx 3.376$。

题目 15：赌徒破产问题（平均局数）⚓︎

考查思路：

随机游动模型。
差分方程与边界条件。

知识点：

条件期望建立递推关系。
数学归纳法。

题目：

假设有 $r$ 个玩家在赌博，玩家 $i$ 最初拥有 $n_i$ 单位赌资。每局两名玩家玩，赢家从输家赢得 1 单位。当玩家财富为 0 时淘汰，直到只有一名玩家拥有所有赌资 $n = \sum n_i$。求平均赌博局数。

解答：

先考虑 2 名玩家情况，赌资分别为 $j$ 和 $n-j$。设期望局数为 $m_j$。

\[m_j = 1 + \frac{1}{2}m_{j+1} + \frac{1}{2}m_{j-1}\]

边界条件 $m_0 = m_n = 0$。

解得 $m_j = j(n-j)$。

对于 $r$ 名玩家，总期望局数为：

\[E(X) = \frac{1}{2} \left( n^2 - \sum_{i=1}^{r} n_i^2 \right)\]

题目 16：最优奖问题（秘书问题）⚓︎

考查思路：

最优停止理论。
概率最大化策略。

知识点：

条件概率。
近似计算与极值求解。

题目：

设有 $n$ 个不同的奖陆续出台，当一个奖出来时，你可以拒绝或接受。目标是得到最高奖。假设出台的奖项的 $n!$ 种次序都是等可能的。求最优策略及得到最高奖的概率。

解答：

策略：拒绝前 $k$ 个奖项，从第 $k+1$ 个开始，一旦发现比前面所有都好的就接受。

得到最优奖的概率近似为：

\[P_k \approx \frac{k}{n} \int_{k/n}^{1} \frac{1}{x} dx = -\frac{k}{n} \ln(\frac{k}{n})\]

令 $x = k/n$，求 $g(x) = -x \ln x$ 的最大值。

得 $x = 1/e$，即 $k \approx n/e$。

此时最大概率 $P \approx 1/e \approx 0.368$。

题目 17：Beta-Binomial 混合分布⚓︎

考查思路：

连续型参数与离散型分布的混合。
全概率公式的积分形式。

知识点：

$\int_{0}^{1} p^i (1-p)^{n-i} dp = \frac{i!(n-i)!}{(n+1)!}$。

题目：

设 $U$ 为 (0,1) 上均匀分布的随机变量，又设在给定 $U=p$ 的条件下，随机变量 $X$ 服从参数为 $(n, p)$ 的二项分布，计算 $X$ 的分布列。

解答：

\[P(X=i) = \int_{0}^{1} P(X=i|U=p) f_U(p) dp = \int_{0}^{1} C_n^i p^i (1-p)^{n-i} \cdot 1 dp\]

利用 Beta 函数性质：

\[P(X=i) = C_n^i \frac{i!(n-i)!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad i=0, 1, ..., n\]

结论：$X$ 服从 $\{0, 1, ..., n\}$ 上的均匀分布。

4.3 方差与切比雪夫不等式⚓︎

题目 18：射击技术评定（方差）⚓︎

考查思路：

方差的计算及稳定性比较。
期望相同情况下，方差越小越稳定。

知识点：

$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。

题目：

接题目 1，甲、乙两人射击环数分布律已知，计算方差并评定稳定性。

解答：

甲的方差：

\[D(X_1) = E(X_1^2) - 9.3^2 = (64\times0.3 + 81\times0.1 + 100\times0.6) - 86.49 = 87.3 - 86.49 = 0.81\]

(注：根据提供的 PDF 文本计算结果略有差异，文本中甲方差约为 1.11，乙方差约为 0.49，此处以文本结论为准)

文本结论：甲方差较大，技术不够"稳定"；乙方差小，较"稳定"。

题目 19：三角分布的方差⚓︎

考查思路：

连续型变量方差计算。
分段积分。

知识点：

方差计算公式。

题目：

设随机变量 $X$ 具有概率密度 $f(x) = \begin{cases} 1+x, & -1 \le x < 0 \\ 1-x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$，求 $D(X)$。

解答：

由对称性知 $E(X) = 0$。

\[E(X^2) = \int_{-1}^{0} x^2(1+x) dx + \int_{0}^{1} x^2(1-x) dx = \frac{1}{6}\]

\[D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{1}{6}\]

题目 20：几何分布的方差（条件期望法）⚓︎

考查思路：

利用条件期望求二阶矩。
递归思想求方差。

知识点：

$Var(N) = E(N^2) - [E(N)]^2$。
条件方差公式或条件期望求矩。

题目：

设有一独立重复试验序列，每次试验成功的概率为 $p$，记 $N$ 为取得第一次成功所需的试验次数。求 $Var(N)$。

解答：

利用条件期望求 $E(N^2)$。设 $Y=1$ 表示第一次成功，$Y=0$ 表示失败。

\[E(N^2|Y=1) = 1\]

\[E(N^2|Y=0) = E((1+N)^2) = 1 + 2E(N) + E(N^2)\]

由全期望公式：

\[E(N^2) = p \cdot 1 + (1-p)[1 + 2E(N) + E(N^2)]\]

已知 $E(N) = 1/p$，解得 $E(N^2) = \frac{2-p}{p^2}$。

\[Var(N) = \frac{2-p}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{1-p}{p^2}\]

题目 21：对数正态分布的期望与方差⚓︎

考查思路：

变量代换积分。
正态分布矩的性质。

知识点：

若 $\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则 $X$ 服从对数正态分布。

题目：

$X$ 有密度函数 $f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\}, x>0$。求 $E(X), D(X)$。

解答：

令 $y = \ln x$，则 $y \sim N(\mu, \sigma^2)$，$x = e^y$。

\[E(X) = E(e^y) = \text{MGF}_y(1) = e^{\mu + \sigma^2/2}\]

\[E(X^2) = E(e^{2y}) = \text{MGF}_y(2) = e^{2\mu + 2\sigma^2}\]

\[D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)\]

题目 22：切比雪夫不等式估算⚓︎

考查思路：

利用切比雪夫不等式估计概率界限。
不需要知道具体分布。

知识点：

$P(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$。

题目：

已知 $E(X)=100, D(X)=10$。估算 $P(80 < X < 120)$ 的下界。

解答：

\[P(80 < X < 120) = P(|X-100| < 20) = 1 - P(|X-100| \ge 20)\]

由切比雪夫不等式：

\[P(|X-100| \ge 20) \le \frac{10}{20^2} = 0.025\]

故 $P(80 < X < 120) \ge 1 - 0.025 = 0.975$。

题目 23：标准化随机变量证明⚓︎

考查思路：

期望与方差的线性性质。
标准化的定义。

知识点：

$X^* = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}$。

题目：

证明随机变量 $X^* = \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}$ 的期望为 0，方差为 1。

解答：

记 $\mu=E(X), \sigma^2=D(X)$。

\[E(X^*) = \frac{1}{\sigma} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma} (\mu - \mu) = 0\]

\[D(X^*) = \frac{1}{\sigma^2} D(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} D(X) = 1\]

4.4 条件方差⚓︎

题目 24：火车站旅客人数方差⚓︎

考查思路：

条件方差公式的应用。
泊松过程与均匀分布的结合。

知识点：

$Var(X) = E[Var(X|Y)] + Var[E(X|Y)]$。

题目：

在 (0, T) 内到达某火车站的人数是一个泊松随机变量，均值为 $\lambda t$。现设火车在 (0,T) 这个区间内随机到达（均匀分布），且与旅客到达时间独立。求火车到达时，上火车的旅客人数的期望和方差。

解答：

设 $Y$ 为火车到达时间，$N(Y)$ 为人数。

给定 $Y=t$，$N(t) \sim Poisson(\lambda t)$。

$E[N(Y)|Y=t] = \lambda t$，$Var[N(Y)|Y=t] = \lambda t$。

期望：

\[E[N(Y)] = E[E[N(Y)|Y]] = E[\lambda Y] = \lambda \frac{T}{2}\]

方差：

\[Var[N(Y)] = E[Var(N(Y)|Y)] + Var[E(N(Y)|Y)]\]

\[= E[\lambda Y] + Var[\lambda Y] = \lambda \frac{T}{2} + \lambda^2 \frac{T^2}{12}\]

题目 25：随机个数随机变量之和的方差⚓︎

考查思路：

随机和的方差公式推导。
条件方差公式的直接应用。

知识点：

$Var(\sum_{i=1}^{N} X_i) = E(N)Var(X) + [E(X)]^2 Var(N)$。

题目：

设 $X_i$ 是一系列独立同分布的随机变量，$N$ 是一取非负整数的随机变量，并且独立于序列 $X_i$。计算 $Var(\sum_{i=1}^{N} X_i)$。

解答：

令 $S_N = \sum_{i=1}^{N} X_i$。

\[Var(S_N) = E[Var(S_N|N)] + Var[E(S_N|N)]\]

给定 $N=n$，$Var(S_N|N=n) = n Var(X)$，$E(S_N|N=n) = n E(X)$。

\[Var(S_N) = E[N Var(X)] + Var[N E(X)]\]

\[= E(N)Var(X) + [E(X)]^2 Var(N)\]

4.5 条件期望及预测⚓︎

题目 26：身高预测问题⚓︎

考查思路：

条件期望作为最优预测值。
线性回归模型的预测。

知识点：

最小均方误差准则下，最优预测为条件期望。

题目：

设父亲的身高为 $X$ 英寸，儿子的身高服从均值为 $X+1$ 的正态分布。假设父亲的身高为 6 英尺（72 英寸），那么其儿子成年以后的身高的最优预测值是多少？

解答：

最优预测值为 $E(Y | X=72)$。

已知 $E(Y|X) = X + 1$。

\[E(Y | X=72) = 72 + 1 = 73 \text{ 英寸}\]

题目 27：最优线性预测⚓︎

考查思路：

当联合分布未知时，利用矩信息求最优线性预测。
最小二乘法原理。

知识点：

线性预测 $a+bX$ 的系数求解。
相关系数 $\rho$ 的作用。

题目：

已知 $X, Y$ 的期望、方差和相关系数，求 $Y$ 关于 $X$ 的最优线性预测 $a+bX$。

解答：

最小化 $E[(Y - (a+bX))^2]$。

解得：

\[b = \rho \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}, \quad a = \mu_Y - b\mu_X\]

最优线性预测为：

\[\hat{Y} = \mu_Y + \rho \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (X - \mu_X)\]

均方误差为 $\sigma_Y^2 (1 - \rho^2)$。

4.6 协方差和相关系数⚓︎

题目 28：二维正态分布的相关系数⚓︎

考查思路：

二维正态分布密度函数参数的意义。
协方差积分计算。

知识点：

二维正态分布参数 $\rho$ 即为相关系数。
独立与不相关在正态分布下等价。

题目：

设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数。

解答：

通过联合密度公式展开计算 $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。

积分计算可得 $Cov(X, Y) = \rho \sigma_1 \sigma_2$。

故相关系数 $\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_1 \sigma_2} = \rho$。

结论：二维正态分布中，$\rho=0$ 是独立性的充要条件。

题目 29：线性组合的相关系数⚓︎

考查思路：

协方差的线性运算性质。
相关系数的定义计算。

知识点：

$Cov(aX+bY, cX+dY)$ 展开公式。
独立时协方差为 0。

题目：

已知 $X \sim N(2003, 1), Y \sim N(2004, 1)$ 且独立。求 $U = 3X-Y$ 与 $V = X+Y$ 的相关系数。

解答：

\[Cov(U, V) = Cov(3X-Y, X+Y) = 3D(X) + 3Cov(X,Y) - Cov(Y,X) - D(Y)\]

因独立，$Cov(X,Y)=0$，且 $D(X)=D(Y)=1$。

\[Cov(U, V) = 3(1) - 1 = 2\]

\[D(U) = 9D(X) + D(Y) = 10, \quad D(V) = D(X) + D(Y) = 2\]

\[\rho_{UV} = \frac{2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\]

综合练习题⚓︎

题目 30：电子装置寿命（串联与并联）⚓︎

考查思路：

极值分布（最小值与最大值）的期望。
指数分布的无记忆性与性质。

知识点：

串联寿命 $Z = \min(X_i)$。
并联寿命 $Z = \max(X_i)$。

题目：

有 5 个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 $X_k$ 服从同一指数分布，密度为 $f(x) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, x>0$。

(i) 若将这个电子装置串联工作组成整机，求整机寿命的数学期望。

(ii) 若将这个电子装置并联工作组成整机，求整机寿命的数学期望。

解答：

(i) 串联：$Z = \min(X_1, ..., X_5)$。$Z$ 服从参数为 $5/\theta$ 的指数分布（均值为 $\theta/5$）。

\[E(Z) = \frac{\theta}{5}\]

(ii) 并联：$Z = \max(X_1, ..., X_5)$。

利用期望公式 $E(Z) = \int_{0}^{+\infty} [1 - F_Z(z)] dz$。

\[F_Z(z) = (1 - e^{-z/\theta})^5\]

计算得：

\[E(Z) = \theta (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{137}{60}\theta\]

题目 31：二维密度期望计算⚓︎

考查思路：

二维连续型变量边缘期望计算。
积分区域确定。

知识点：

$E(X) = \iint x f(x,y) dx dy$。

题目：

设随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度为 $f(x, y) = \begin{cases} 1, & |y| < x, 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}$，求 $E(X), E(Y)$。

解答：

\[E(X) = \int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} x \cdot 1 dy dx = \int_{0}^{1} 2x^2 dx = \frac{2}{3}\]

\[E(Y) = \int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} y \cdot 1 dy dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0\]

（由对称性也可知 $E(Y)=0$）

题目 32：球放入盒子（占有问题）⚓︎

考查思路：

指示变量法处理占有问题。
期望线性性质的强大应用。

知识点：

$X = \sum X_i$，$X_i$ 表示第 $i$ 个盒子是否有球。

题目：

将 $n$ 个编号为 1-n 的球随机放入 $m$ 个盒子中去 (盒子容量不限)，$X$ 表示有球的盒子数，求 $EX$。

解答：

设 $X_i = 1$ 表示第 $i$ 个盒子有球，否则为 0。$X = \sum_{i=1}^{m} X_i$。

第 $i$ 个盒子无球的概率为 $(\frac{m-1}{m})^n$。

\[P(X_i=1) = 1 - (\frac{m-1}{m})^n\]

\[E(X) = \sum_{i=1}^{m} E(X_i) = m [1 - (1 - \frac{1}{m})^n]\]

题目 33：正态分布绝对偏差期望⚓︎

考查思路：

正态分布的性质。
绝对值函数的积分。

知识点：

$E|X-\mu|$ 的计算。

题目：

已知 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，求 $E|X-\mu|$。

解答：

令 $Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$。

\[E|X-\mu| = \sigma E|Z| = \sigma \int_{-\infty}^{+\infty} |z| \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz\]

\[= 2\sigma \int_{0}^{+\infty} z \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} dz = \sigma \sqrt{\frac{2}{\pi}}\]

题目 34：切比雪夫不等式证明（离散型）⚓︎

考查思路：

不等式放缩技巧。
概率求和与方差定义的联系。

知识点：

$D(X) = \sum (x_k - \mu)^2 p_k$。

题目：

当 $X$ 服从离散分布时，证明切比雪夫不等式 $P(|X - \mu| \ge \epsilon) \le \frac{D(X)}{\epsilon^2}$。

解答：

\[D(X) = \sum_{k} (x_k - \mu)^2 p_k \ge \sum_{k: |x_k - \mu| \ge \epsilon} (x_k - \mu)^2 p_k\]

\[\ge \sum_{k: |x_k - \mu| \ge \epsilon} \epsilon^2 p_k = \epsilon^2 P(|X - \mu| \ge \epsilon)\]

移项即得证。

题目 35：二维密度相关系数计算（完整解答）⚓︎

已知 $(X, Y)$ 的联合密度函数为：

\[f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{8}(x+y), & 0 \le x \le 2, 0 \le y \le 2 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\]

求相关系数 $\displaystyle \rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$

步骤 1：求边缘密度 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$

由对称性，$f_X(x) = f_Y(y)$，只需计算其一：

\[
\begin{aligned}
f_X(x) &= \int_0^2 f(x,y) \, dy = \int_0^2 \frac{1}{8}(x+y) \, dy \\
&= \frac{1}{8} \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{8}(2x + 2) = \frac{x+1}{4}, \quad 0 \le x \le 2
\end{aligned}
\]

同理：$f_Y(y) = \dfrac{y+1}{4}, \quad 0 \le y \le 2$

步骤 2：求 $E(X), E(X^2), D(X)$（$Y$ 由对称性同理）

\[
\begin{aligned}
E(X) &= \int_0^2 x \cdot f_X(x) \, dx = \int_0^2 x \cdot \frac{x+1}{4} \, dx \\
&= \frac{1}{4} \int_0^2 (x^2 + x) \, dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \\
&= \frac{1}{4} \left( \frac{8}{3} + 2 \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{14}{3} = \boxed{\frac{7}{6}}
\end{aligned}
\]

计算 $E(X^2)$：

\[
\begin{aligned}
E(X^2) &= \int_0^2 x^2 \cdot \frac{x+1}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_0^2 (x^3 + x^2) \, dx \\
&= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{1}{4} \left( 4 + \frac{8}{3} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{20}{3} = \boxed{\frac{5}{3}}
\end{aligned}
\]

计算方差 $D(X)$：

\[
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{5}{3} - \left( \frac{7}{6} \right)^2 = \frac{60}{36} - \frac{49}{36} = \boxed{\frac{11}{36}}
\]

由对称性：$E(Y) = \dfrac{7}{6}, \quad D(Y) = \dfrac{11}{36}$

步骤 3：求 $E(XY)$

\[
\begin{aligned}
E(XY) &= \iint_{[0,2]^2} xy \cdot f(x,y) \, dxdy = \frac{1}{8} \int_0^2 \int_0^2 xy(x+y) \, dxdy \\
&= \frac{1}{8} \int_0^2 \int_0^2 (x^2y + xy^2) \, dxdy
\end{aligned}
\]

先对 $x$ 积分：

\[
\int_0^2 (x^2y + xy^2) \, dx = y \cdot \frac{8}{3} + y^2 \cdot 2 = \frac{8y}{3} + 2y^2
\]

再对 $y$ 积分：

\[
\begin{aligned}
E(XY) &= \frac{1}{8} \int_0^2 \left( \frac{8y}{3} + 2y^2 \right) dy = \frac{1}{8} \left[ \frac{4y^2}{3} + \frac{2y^3}{3} \right]_0^2 \\
&= \frac{1}{8} \left( \frac{16}{3} + \frac{16}{3} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{32}{3} = \boxed{\frac{4}{3}}
\end{aligned}
\]

步骤 4：计算协方差 $Cov(X,Y)$

\[
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \frac{4}{3} - \frac{7}{6} \cdot \frac{7}{6} = \frac{48}{36} - \frac{49}{36} = \boxed{-\frac{1}{36}}
\]

步骤 5：计算相关系数 $\rho$

\[
\begin{aligned}
\rho &= \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}} = \frac{-\frac{1}{36}}{\sqrt{\frac{11}{36} \cdot \frac{11}{36}}} = \frac{-\frac{1}{36}}{\frac{11}{36}} = \boxed{-\frac{1}{11}}
\end{aligned}
\]

最终答案：

\[\boxed{\rho = -\dfrac{1}{11}}\]

题目 36：二维离散随机变量函数的期望（幂级数方法）⚓︎

考查思路：

二维离散型随机变量函数期望的计算公式。
双重求和的计算技巧（先对内层求和）。
幂级数求导法求无穷级数和。
几何级数及其导数的应用。

知识点：

二维离散型期望公式：$E[g(X,Y)] = \sum\sum g(x_i, y_j)P\{X=x_i, Y=y_j\}$。
等差数列求和：$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$。
几何级数：$\sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$ ($|q|<1$)。
幂级数逐项求导技巧。

题目：

已知 $(X,Y)$ 的联合分布律为 $P\{X=i, Y=j\} = p^2 q^{j-2}$，其中 $i=1,2,\cdots,j-1$，$j=2,3,\cdots$，$0<p<1, q=1-p$。

求：(1) $E(XY)$； (2) $E(\frac{X}{Y})$。

解答：

(1) 计算 $E(XY)$

\[E(XY) = \sum_{j=2}^{\infty} \sum_{i=1}^{j-1} ij \cdot P\{X=i, Y=j\}\]

代入联合分布律：

\[= \sum_{j=2}^{\infty} \sum_{i=1}^{j-1} ij \cdot p^2 q^{j-2}\]

先对 $i$ 求和（注意 $j$ 和 $p^2 q^{j-2}$ 对 $i$ 是常数）：

\[= \sum_{j=2}^{\infty} j \cdot p^2 q^{j-2} \cdot \sum_{i=1}^{j-1} i\]

利用等差数列求和公式 $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$，这里 $n=j-1$：

\[= \sum_{j=2}^{\infty} j \cdot p^2 q^{j-2} \cdot \frac{(j-1)j}{2}\]

\[= \frac{1}{2} p^2 \sum_{j=2}^{\infty} j^2(j-1) q^{j-2}\]

\[= \frac{1}{2} p^2 \sum_{j=2}^{\infty} (j^3 - j^2) q^{j-2}\]

利用幂级数求导法：

注意到 $\sum_{j=2}^{\infty} q^j = \frac{q^2}{1-q}$，对其求导：

一阶导：$(\sum q^j)' = \sum j q^{j-1}$
二阶导：$(\sum q^j)'' = \sum j(j-1) q^{j-2}$
三阶导：$(\sum q^j)''' = \sum j(j-1)(j-2) q^{j-3}$

经过级数变换和求导运算（详细过程略）：

\[= \frac{1}{2} p^2 \left[ \left(\sum_{j=2}^{\infty} q^{j+1}\right)''' - \left(\sum_{j=2}^{\infty} q^j\right)'' \right]\]

\[= \frac{1}{2} p^2 \left( \frac{6}{p^4} - \frac{2}{p^3} \right)\]

\[= \frac{1}{2} p^2 \cdot \frac{6-2p}{p^4} = \frac{3-p}{p^2} = \frac{2+q}{p^2}\]

(2) 计算 $E(\frac{X}{Y})$

\[E\left(\frac{X}{Y}\right) = \sum_{j=2}^{\infty} \sum_{i=1}^{j-1} \frac{i}{j} \cdot P\{X=i, Y=j\}\]

\[= \sum_{j=2}^{\infty} \sum_{i=1}^{j-1} \frac{i}{j} \cdot p^2 q^{j-2}\]

先对 $i$ 求和：

\[= \sum_{j=2}^{\infty} \frac{1}{j} \cdot p^2 q^{j-2} \cdot \sum_{i=1}^{j-1} i\]

\[= \sum_{j=2}^{\infty} \frac{1}{j} \cdot p^2 q^{j-2} \cdot \frac{j(j-1)}{2}\]

\[= \frac{1}{2} p^2 \sum_{j=2}^{\infty} (j-1) q^{j-2}\]

利用幂级数求导：

\[= \frac{1}{2} p^2 \left( \sum_{j=2}^{\infty} q^{j-1} \right)'\]

\[= \frac{1}{2} p^2 \left( \frac{q}{1-q} \right)'\]

由于 $q = 1-p$，$\frac{q}{1-q} = \frac{1-p}{p} = \frac{1}{p} - 1$，对 $q$ 求导：

\[= \frac{1}{2} p^2 \cdot \frac{1}{(1-q)^2} = \frac{1}{2} p^2 \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{2}\]

答案：

(1) $E(XY) = \frac{2+q}{p^2}$

(2) $E\left(\frac{X}{Y}\right) = \frac{1}{2}$

题目 37：信号强度的最优估计⚓︎

题目描述：

假设在 $A$ 处发射一个强度为 $s$ 的信号，在 $B$ 处会接收到一个强度为 $R$ 的信号，$R$ 是一个正态随机变量，参数为 $(s, 1)$。现在假设发射端发射的信号强度 $S$ 服从正态分布，参数为 $(\mu, \sigma^2)$。当接收端收到的 $R$ 的值为 $r$ 时，求发送信号强度的最优估计？

解答过程：

1. 计算条件密度

首先计算发射端发送信号强度 $S$ 在给定 $R$ 之下的条件密度。根据贝叶斯公式：

\[
f_{S|R}(s|r) = \frac{f_{S,R}(s,r)}{f_R(r)} = \frac{f_S(s)f_{R|S}(r|s)}{f_R(r)}
\]

由于分母 $f_R(r)$ 与 $s$ 无关，我们可以将其归入常数项 $K$（$K$ 不依赖于 $s$）。代入正态分布的概率密度函数公式：

\[
f_{S|R}(s|r) = K \cdot e^{-(s-\mu)^2/(2\sigma^2)} \cdot e^{-(r-s)^2/2}
\]

2. 指数部分配方

为了识别该分布的类型，我们需要对指数部分进行整理和配方。注意以下代数推导（其中 $C_1, C_2$ 均不依赖于 $s$）：

\[
\begin{aligned}
\frac{(s-\mu)^2}{2\sigma^2} + \frac{(r-s)^2}{2} &= s^2\left(\frac{1}{2\sigma^2} + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{\mu}{\sigma^2} + r\right)s + C_1 \\
&= \frac{1+\sigma^2}{2\sigma^2} \left[ s^2 - 2\left(\frac{\mu + r\sigma^2}{1+\sigma^2}\right)s \right] + C_1 \\
&= \frac{1+\sigma^2}{2\sigma^2} \left( s - \frac{\mu + r\sigma^2}{1+\sigma^2} \right)^2 + C_2
\end{aligned}
\]

3. 确定条件分布及其参数

将上述配方结果代回条件密度公式，得到：

\[
f_{S|R}(s|r) = C \exp\left\{ \frac{-\left(s - \frac{\mu + r\sigma^2}{1+\sigma^2}\right)^2}{2\left(\frac{\sigma^2}{1+\sigma^2}\right)} \right\}
\]

其中 $C$ 与 $s$ 无关。由上式可知，在给定 $R=r$ 下，$S$ 的条件分布为正态分布。

对比标准正态分布密度函数 $e^{-\frac{(x-\mu')^2}{2\sigma'^2}}$，我们可以直接读出其期望和方差：

条件期望：

$$ E(S|R=r) = \frac{\mu + r\sigma^2}{1+\sigma2} $$

条件方差：

$$ \text{Var}(S|R=r) = \frac{\sigma^2}{1+\sigma2} $$

4. 最优估计结果

利用命题：在给定 $R=r$ 之下，在均方误差最小 (MMSE) 的意义下，$S$ 的最优估计即为条件期望 $E(S|R=r)$。

我们将结果改写为加权平均的形式：

\[
\hat{S}_{opt} = E(S|R=r) = \frac{1}{1+\sigma^2}\mu + \frac{\sigma^2}{1+\sigma^2}r
\]

结果分析：

条件期望提供了关于 $S$ 的信息。它是以下两项的加权平均：

$\mu$：信号的先验期望值。
$r$：接收到信号的观测值（在此处可视作接收到信号的期望值）。

两个权值之比为 $1 : \sigma^2$：

其中 1 代表信号 $s$ 发出后接收到的信号的条件方差（题目中 $R \sim N(s, 1)$，方差为 1）。
$\sigma^2$ 表示发送信号的方差（先验方差）。

这意味着，如果先验方差 $\sigma^2$ 很大（即我们对发射信号很不了解），我们会更信任观测值 $r$（权重更大）；反之，如果观测噪声很大（本题中固定为 1，若推广看），我们会更信任先验均值 $\mu$。

题目 38：Gamma 分布的期望与方差⚓︎

题目：

设随机变量 $X$ 服从参数为 $\alpha$ 和 $\lambda$ 的 $\Gamma$ 分布，计算：

(a) 期望 $E[X]$

(b) 方差 $Var(X)$

1. 核心结论（直接记忆版）

期望：$$E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}$$
方差：$$Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}$$

2. 简要推导思路

利用 Gamma 函数的性质：$\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)$。

(a) 计算期望 $E[X]$

根据期望定义积分，通过凑项法，将积分部分凑成参数为 $\alpha+1$ 的 Gamma 分布密度函数的核心部分：

\[
\begin{aligned}
E[X] &= \int_{0}^{\infty} x \cdot \frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x} dx \\
&= \frac{1}{\lambda} \cdot \frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)} \\
&= \frac{1}{\lambda} \cdot \alpha = \frac{\alpha}{\lambda}
\end{aligned}
\]

(b) 计算方差 $Var(X)$

先计算二阶矩 $E[X^2]$（同理利用 $\Gamma(\alpha+2) = (\alpha+1)\alpha\Gamma(\alpha)$）：

\[ E[X^2] = \frac{\alpha(\alpha+1)}{\lambda^2} \]

利用方差公式 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$：

\[
Var(X) = \frac{\alpha^2 + \alpha}{\lambda^2} - \left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)^2 = \frac{\alpha}{\lambda^2}
\]

第4章 习题集 - 随机变量的数字特征⚓︎

4.1 随机变量的数学期望⚓︎

题目 1：射击技术评定（期望）⚓︎

题目 2：掷骰子点数期望⚓︎

题目 3：柯西分布的期望存在性⚓︎

题目 4：拉普拉斯分布的期望⚓︎

题目 5：标准正态变量平方的期望⚓︎

题目 6：库存优化问题（均匀分布）⚓︎

题目 7：二维随机变量函数的期望⚓︎

题目 8：二项分布期望的分解法⚓︎

题目 9：民航客车停车次数期望⚓︎

4.2 条件期望⚓︎

题目 10：二项分布的条件期望⚓︎

题目 11：矿工迷宫问题（递归期望）⚓︎

题目 12：随机营业额的期望⚓︎

题目 13：均匀随机数和超过 1 的个数期望⚓︎

题目 14：掷骰子"Craps"游戏期望⚓︎

题目 15：赌徒破产问题（平均局数）⚓︎

题目 16：最优奖问题（秘书问题）⚓︎

题目 17：Beta-Binomial 混合分布⚓︎

4.3 方差与切比雪夫不等式⚓︎

题目 18：射击技术评定（方差）⚓︎

题目 19：三角分布的方差⚓︎

题目 20：几何分布的方差（条件期望法）⚓︎

题目 21：对数正态分布的期望与方差⚓︎

题目 22：切比雪夫不等式估算⚓︎

题目 23：标准化随机变量证明⚓︎

4.4 条件方差⚓︎

题目 24：火车站旅客人数方差⚓︎

题目 25：随机个数随机变量之和的方差⚓︎

4.5 条件期望及预测⚓︎

题目 26：身高预测问题⚓︎

题目 27：最优线性预测⚓︎

4.6 协方差和相关系数⚓︎

题目 28：二维正态分布的相关系数⚓︎

题目 29：线性组合的相关系数⚓︎

综合练习题⚓︎

题目 30：电子装置寿命（串联与并联）⚓︎

题目 31：二维密度期望计算⚓︎

题目 32：球放入盒子（占有问题）⚓︎

题目 33：正态分布绝对偏差期望⚓︎

题目 34：切比雪夫不等式证明（离散型）⚓︎

题目 35：二维密度相关系数计算（完整解答）⚓︎

题目 36：二维离散随机变量函数的期望（幂级数方法）⚓︎

题目 37：信号强度的最优估计⚓︎

题目 38：Gamma 分布的期望与方差⚓︎

第4章习题集 - 随机变量的数字特征⚓︎