第 2 章随机变量及其分布习题全解⚓︎

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本章概要

系统整理 22 道典型例题，涵盖离散型（二项、泊松、几何）与连续型（正态）分布，详解随机变量函数的分布求法。

第一节离散型随机变量及其分布⚓︎

例 1. 汽车信号灯问题（离散型随机变量分布律）⚓︎

题目：

设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率 \(p\) 禁止汽车通过，以 \(X\) 表示汽车首次停下时已通过信号灯的盏数，求 \(X\) 的分布律。（设各信号灯的工作是相互独立的）

解答：

\(X\) 的可能取值为 \(0, 1, 2, 3, 4\)。

事件 \(\{X=k\}\) 表示前 \(k\) 盏灯通过（概率 \(1-p\)），第 \(k+1\) 盏灯停下（概率 \(p\)），其中 \(k=0, 1, 2, 3\)。
事件 \(\{X=4\}\) 表示 4 盏灯全部通过。

分布律为：

\[
\begin{aligned}
P\{X=k\} &= (1-p)^k p, \quad k=0, 1, 2, 3 \\
P\{X=4\} &= (1-p)^4
\end{aligned}
\]

表格形式：

\(X\)	0	1	2	3	4
\(p_k\)	\((1-p)p\)	\((1-p)^2p\)	\((1-p)^3p\)	\((1-p)^4p\)	\((1-p)^4\)

考查思路：

本题考查离散型随机变量分布律的定义及独立事件概率的计算。需要识别出 \(X\) 取不同值所对应的具体试验结果序列。

要点重点：

理解随机变量 \(X\) 的实际意义（通过的盏数）
利用独立性计算序列概率
注意最后一个取值 \(X=4\) 的特殊性（不需要第 5 盏灯停下，而是全部通过）

例 2. 袋中取球问题（离散型随机变量分布律）⚓︎

题目：

袋中装有 3 只白球和 2 只红球，从袋中任取两球，用 \(X\) 表示取到的白球数，求 \(X\) 的分布律。

解答：

\(X\) 的可能取值为 \(0, 1, 2\)。总取法为 \(C_5^2 = 10\) 种。

\[
\begin{aligned}
P\{X=0\} &= \frac{C_2^2}{C_5^2} = \frac{1}{10} \\
P\{X=1\} &= \frac{C_3^1 C_2^1}{C_5^2} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \\
P\{X=2\} &= \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10}
\end{aligned}
\]

分布律表格：

\(X\)	0	1	2
\(p_k\)	\(1/10\)	\(3/5\)	\(3/10\)

考查思路：

本题考查古典概型与离散型随机变量分布律的结合。利用组合数计算各事件发生的概率。

要点重点：

明确样本空间总数
准确计算各取值对应的有利样本点数
验证概率之和是否为 1

例 3. 确定常数 \(a\)（分布律性质）⚓︎

题目：

设 \(X\) 的分布律为 \(P\{X=k\} = C_n^k a^k \left(\frac{1}{3}\right)^n, \quad k=0, 1, 2, \dots, n\)。试确定常数 \(a\)。

解答：

由分布律的性质 \(\sum_{k=0}^n P\{X=k\} = 1\) 可得：

\[
\sum_{k=0}^n C_n^k a^k \left(\frac{1}{3}\right)^n = 1
\]

提取公因子 \(\left(\frac{1}{3}\right)^n\)：

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^n \sum_{k=0}^n C_n^k a^k \cdot 1^{n-k} = 1
\]

利用二项式定理 \(\sum_{k=0}^n C_n^k a^k = (1+a)^n\)：

\[
\left(\frac{1}{3}\right)^n (1+a)^n = 1 \implies \left(\frac{1+a}{3}\right)^n = 1
\]

解得：

\[
\frac{1+a}{3} = 1 \implies a = 2
\]

考查思路：

本题考查离散型随机变量分布律的归一性（概率之和为 1）以及二项式定理的应用。

要点重点：

分布律性质：\(\sum p_k = 1\)
识别二项展开式结构
解方程求参数

例 4. 电子元件一级品问题（二项分布）⚓︎

题目：

某种电子元件的使用寿命超过 1500 小时为一级品，已知一大批该产品的一级品率为 0.2，从中随机抽查 20 只，求这 20 只元件中一级品只数 \(X\) 的分布律。

解答：

检查一只元件是否为一级品看作一次试验，抽查 20 只看作 20 重伯努利试验。

\(X\) 服从参数为 \(n=20, p=0.2\) 的二项分布，记为 \(X \sim b(20, 0.2)\)。

分布律为：

\[
P\{X=k\} = C_{20}^k (0.2)^k (0.8)^{20-k}, \quad k=0, 1, 2, \dots, 20
\]

考查思路：

本题考查二项分布的定义及识别。关键在于判断试验是否独立重复，且每次试验只有两个结果。

要点重点：

二项分布模型：\(n\) 重伯努利试验
分布律公式：\(P\{X=k\} = C_n^k p^k q^{n-k}\)
大批量产品不放回抽样可近似看作放回抽样（独立性）

例 5. 射击命中问题（二项分布计算）⚓︎

题目：

某人进行射击，每次命中率为 0.02，独立射击 400 次，试求至少击中两次的概率。

解答：

设 \(X\) 为 400 次射击中击中的次数，则 \(X \sim b(400, 0.02)\)。

\[
P\{X=k\} = C_{400}^k (0.02)^k (0.98)^{400-k}, \quad k=0, 1, \dots, 400
\]

所求概率为：

\[
\begin{aligned}
P\{X \ge 2\} &= 1 - P\{X=0\} - P\{X=1\} \\
&= 1 - (0.98)^{400} - 400 \times (0.02) \times (0.98)^{399}
\end{aligned}
\]

考查思路：

本题考查二项分布的概率计算。直接计算较复杂，通常利用对立事件简化计算。

要点重点：

利用对立事件：\(P\{X \ge 2\} = 1 - P\{X < 2\}\)
当 \(n\) 较大时，二项分布直接计算困难，可考虑泊松近似（见下例）

例 6. 射击命中问题（泊松分布近似）⚓︎

题目：

某人进行射击，每次命中率为 0.02，独立射击 400 次，试求至少击中两次的概率。（使用泊松分布近似）

解答：

这里 \(n=400\) 较大，\(p=0.02\) 较小，可用泊松分布近似。

参数 \(\lambda = np = 400 \times 0.02 = 8\)。

\[
P\{X=k\} \approx \frac{e^{-8} 8^k}{k!}
\]

所求概率：

\[
\begin{aligned}
P\{X \ge 2\} &= 1 - P\{X=0\} - P\{X=1\} \\
&\approx 1 - e^{-8} - 8e^{-8} \\
&= 1 - 9e^{-8} \approx 0.997
\end{aligned}
\]

考查思路：

本题考查泊松定理的应用。当 \(n\) 很大且 \(p\) 很小时，二项分布可用泊松分布近似。

要点重点：

泊松近似条件：\(n\) 大，\(p\) 小，\(\lambda = np\) 适中
近似公式：\(C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \approx \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)

例 7. 设备维修工人配备问题（泊松分布应用）⚓︎

题目：

设有同类型设备 300 台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是 0.01，设一台设备的故障由一个人处理，问：至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于 0.01？

解答：

设需配备 \(N\) 个工人，同一时刻发生故障的设备台数为 \(X\)。

"不能及时维修"即 \(X > N\)
需找最小 \(N\) 使得 \(P\{X > N\} < 0.01\)

\(X \sim b(300, 0.01)\)，近似为泊松分布，\(\lambda = 300 \times 0.01 = 3\)。

\[
P\{X > N\} = \sum_{k=N+1}^{300} \frac{3^k e^{-3}}{k!} < 0.01
\]

查泊松分布表可知，当 \(N=8\) 时，\(P\{X \le 8\} \ge 0.99\)，即 \(P\{X > 8\} < 0.01\)。

故最小的 \(N=8\)。

考查思路：

本题考查泊松分布在实际决策问题中的应用。关键在于将实际问题转化为概率不等式求解。

要点重点：

建立数学模型：\(P\{X > N\} < \alpha\)
利用累积概率表或计算确定临界值

例 8. 奖券中奖问题（几何分布）⚓︎

题目：

设某种社会定期发行的奖券，每券 1 元，中奖率为 \(p=0.0001\)，某人每次购买 1 张奖券，如果没有中奖下次继续买，直到中奖止，求购买次数 \(X\) 的分布律及 \(P\{X > 1000\}\)。

解答：

\(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布。

分布律：

\[
P\{X=k\} = p(1-p)^{k-1}, \quad k=1, 2, 3, \dots
\]

计算概率：

\[
\begin{aligned}
P\{X > 1000\} &= \sum_{k=1001}^{\infty} p(1-p)^{k-1} \\
&= p(1-p)^{1000} \sum_{j=0}^{\infty} (1-p)^j \\
&= p(1-p)^{1000} \cdot \frac{1}{1-(1-p)} \\
&= (1-p)^{1000} = (0.9999)^{1000} \approx 0.9047
\end{aligned}
\]

考查思路：

本题考查几何分布的定义及无穷级数求和。几何分布描述首次成功所需的试验次数。

要点重点：

几何分布模型：重复试验直到成功
利用等比数列求和公式计算尾部概率

第二节连续型随机变量及其分布⚓︎

例 9. 离散型随机变量分布函数⚓︎

题目：

离散型 r.v. \(X\) 已知分布律如下，求 \(X\) 的分布函数 \(F(x)\)，并求 \(P\{X \le 1/2\}\)，\(P\{3/2 < X \le 5/2\}\)。

\(X\)	-1	2	3
\(p_k\)	1/4	1/2	1/4

解答：

分布函数 \(F(x) = P\{X \le x\}\) 为阶梯函数：

\[
F(x) = \begin{cases}
0, & x < -1 \\
1/4, & -1 \le x < 2 \\
3/4, & 2 \le x < 3 \\
1, & x \ge 3
\end{cases}
\]

计算概率：

\[
\begin{aligned}
P\{X \le 1/2\} &= F(1/2) = 1/4 \\
P\{3/2 < X \le 5/2\} &= F(5/2) - F(3/2) = 3/4 - 1/4 = 1/2
\end{aligned}
\]

考查思路：

本题考查由分布律求分布函数的方法，以及利用分布函数计算区间概率。

要点重点：

分布函数是累积概率，呈阶梯状
区间概率公式：\(P\{x_1 < X \le x_2\} = F(x_2) - F(x_1)\)
注意区间的开闭对离散型变量的影响

例 10. 连续型随机变量概率密度（确定常数）⚓︎

题目：

设随机变量 \(X\) 具有概率密度 \(f(x) = \begin{cases} k e^{-3x}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}\)，试确定常数 \(k\) 并求分布函数 \(F(x)\) 和 \(P\{X > 0.1\}\)。

解答：

1. 确定 \(k\)：

\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0}^{+\infty} k e^{-3x} dx = \frac{k}{3} = 1 \implies k = 3
\]

2. 求分布函数 \(F(x)\)：

当 \(x > 0\) 时，

\[
F(x) = \int_{0}^{x} 3e^{-3t} dt = 1 - e^{-3x}
\]

故

\[
F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-3x}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}
\]

3. 求概率：

\[
P\{X > 0.1\} = \int_{0.1}^{+\infty} 3e^{-3x} dx = e^{-0.3} \approx 0.7408
\]

考查思路：

本题考查连续型随机变量概率密度的性质（归一性）、分布函数与概率密度的关系以及概率计算。

要点重点：

性质：\(\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1\)
关系：\(F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt\)
概率计算：\(P\{X \in D\} = \int_D f(x) dx\)

例 11. 连续型随机变量分布函数（确定常数）⚓︎

题目：

连续型随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x) = \begin{cases} A + B e^{-x^2/2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}\)。

(1) 求 \(A, B\)；(2) 求概率密度函数；(3) 求 \(X\) 落入 \((1, 2)\) 的概率。

解答：

1. 求 \(A, B\)：

由规范性 \(F(+\infty) = 1\)，得 \(\lim_{x \to +\infty} (A + B e^{-x^2/2}) = A = 1\)。
由连续性 \(F(0) = 0\)，得 \(A + B = 0 \implies B = -1\)。

故 \(F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-x^2/2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}\)。

2. 求概率密度 \(f(x)\)：

\[
f(x) = F'(x) = \begin{cases} x e^{-x^2/2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}
\]

3. 求概率：

\[
P\{1 < X < 2\} = F(2) - F(1) = (1 - e^{-2}) - (1 - e^{-0.5}) = e^{-0.5} - e^{-2} \approx 0.4721
\]

考查思路：

本题考查分布函数的性质（规范性、连续性）及其与概率密度的导数关系。

要点重点：

利用 \(F(+\infty)=1\) 和连续点处极限相等求参数
\(f(x) = F'(x)\) 在连续点成立
区间概率直接用分布函数相减

例 12. 正态分布概率计算⚓︎

题目：

设 \(X \sim N(1, 4)\)，求 \(P\{0 < X \le 1.6\}\)。

解答：

\(\mu = 1, \sigma = 2\)。标准化变换 \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0, 1)\)。

\[
\begin{aligned}
P\{0 < X \le 1.6\} &= \Phi\left(\frac{1.6-1}{2}\right) - \Phi\left(\frac{0-1}{2}\right) \\
&= \Phi(0.3) - \Phi(-0.5) \\
&= \Phi(0.3) - [1 - \Phi(0.5)] \\
&\approx 0.6179 - (1 - 0.6915) \\
&= 0.3094
\end{aligned}
\]

考查思路：

本题考查一般正态分布转化为标准正态分布进行概率计算的方法。

要点重点：

标准化公式：\(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\)
标准正态分布性质：\(\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)\)
查表计算

例 13. 公共汽车车门高度设计（正态分布应用）⚓︎

题目：

公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头机会在 0.01 以下设计的，设男子身高 \(X \sim N(170, 6^2)\)（厘米），问车门高度应为多少？

解答：

设车门高度为 \(h\)，需满足 \(P\{X > h\} < 0.01\)。

\[
\begin{aligned}
P\{X > h\} &= 1 - P\{X \le h\} = 1 - \Phi\left(\frac{h-170}{6}\right) < 0.01 \\
\Phi\left(\frac{h-170}{6}\right) &> 0.99
\end{aligned}
\]

查表得 \(\Phi(2.33) \approx 0.99\)，故：

\[
\frac{h-170}{6} \ge 2.33 \implies h \ge 170 + 13.98 \approx 184 \text{ (厘米)}
\]

考查思路：

本题考查正态分布的分位数应用，即已知概率求边界值。

要点重点：

将实际问题转化为不等式 \(P\{X > h\} < \alpha\)
利用标准正态分布表反查分位点

例 14. 正态分布区间概率（3\(\sigma\) 原则）⚓︎

题目：

若 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，求 \(X\) 落入区间 \([\mu-\sigma, \mu+\sigma]\)，\([\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]\)，\([\mu-3\sigma, \mu+3\sigma]\) 的概率。

解答：

\[
\begin{aligned}
P\{\mu-\sigma \le X \le \mu+\sigma\} &= \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 0.6826 \\
P\{\mu-2\sigma \le X \le \mu+2\sigma\} &= \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\Phi(2) - 1 \approx 0.9544 \\
P\{\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma\} &= \Phi(3) - \Phi(-3) = 2\Phi(3) - 1 \approx 0.9974
\end{aligned}
\]

考查思路：

本题考查正态分布的"3\(\sigma\) 原则"，展示数据集中在均值附近的规律。

要点重点：

记住常用概率值：68.3%, 95.4%, 99.7%
理解正态分布的集中性

例 15. 考生成绩正态分布（参数估计与概率）⚓︎

题目：

某校抽样调查结果表明，考生的概率论与数理统计成绩近似地服从正态分布，平均成绩 72 分 (\(\mu\))，96 分以上的占考生总数的 2.3％，求考生的概率统计成绩在 60 分至 84 分之间的概率。

解答：

设 \(X \sim N(72, \sigma^2)\)。

由 \(P\{X > 96\} = 0.023\) 得：

\[
1 - \Phi\left(\frac{96-72}{\sigma}\right) = 0.023 \implies \Phi\left(\frac{24}{\sigma}\right) = 0.977
\]

查表得 \(\frac{24}{\sigma} = 2 \implies \sigma = 12\)。

所求概率：

\[
\begin{aligned}
P\{60 \le X \le 84\} &= \Phi\left(\frac{84-72}{12}\right) - \Phi\left(\frac{60-72}{12}\right) \\
&= \Phi(1) - \Phi(-1) \\
&= 2\Phi(1) - 1 \approx 0.6826
\end{aligned}
\]

考查思路：

本题考查利用已知概率反求正态分布参数 \(\sigma\)，再计算另一区间概率。

要点重点：

逆向使用分布函数表求参数
利用对称性简化计算

例 16. VAR (Value at Risk) 问题（正态分布应用）⚓︎

题目：

投资的 VAR 可以定义为一个值 \(\nu\)，满足投资的损失大于 \(\nu\) 的概率只有 1%。如果投资收益 \(X\) 服从正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\)，那么，因为损失是收益的相反数，所以我们有 \(P\{-X > \nu\} = 0.01\)。求 \(\nu\)。

解答：

\(-X \sim N(-\mu, \sigma^2)\)。

\[
\begin{aligned}
P\{-X > \nu\} &= 1 - \Phi\left(\frac{\nu - (-\mu)}{\sigma}\right) = 0.01 \\
\Phi\left(\frac{\nu + \mu}{\sigma}\right) &= 0.99
\end{aligned}
\]

查表得 \(\frac{\nu + \mu}{\sigma} = 2.33\)，故：

\[
\nu = 2.33\sigma - \mu
\]

结论： 在所有收益服从正态分布的投资集合中，使 \(\mu - 2.33\sigma\) 达到最大值的投资风险最小。

考查思路：

本题考查正态分布在金融风险度量中的应用，理解 VAR 的定义及转化。

要点重点：

理解损失与收益的关系
利用上分位点计算风险值

第三节随机变量函数的分布⚓︎

例 17. 离散型随机变量函数的分布⚓︎

题目：

设 \(X\) 具有以下的分布律，求 \(Y=(X-1)^2\) 的分布律。

\(X\)	-1	0	1	2
\(p_k\)	0.2	0.3	0.1	0.4

解答：

\(Y\) 的可能取值为 \(0, 1, 4\)。

\[
\begin{aligned}
P\{Y=0\} &= P\{X=1\} = 0.1 \\
P\{Y=1\} &= P\{X=0\} + P\{X=2\} = 0.3 + 0.4 = 0.7 \\
P\{Y=4\} &= P\{X=-1\} = 0.2
\end{aligned}
\]

分布律：

\(Y\)	0	1	4
\(p_k\)	0.1	0.7	0.2

考查思路：

本题考查离散型随机变量函数分布的求法。关键在于将 \(X\) 的取值映射到 \(Y\)，并合并相同 \(Y\) 值的概率。

要点重点：

列出 \(Y\) 的所有可能取值
利用概率加法公式合并概率

例 18. 连续型随机变量函数的分布（分布函数法）⚓︎

题目：

设 \(X\) 具有概率密度 \(f_X(x) = \begin{cases} x/8, & 0 < x < 4 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\)，求 \(Y = X^2 + 8\) 的概率密度。

解答：

先求 \(Y\) 的分布函数 \(F_Y(y)\)。\(Y\) 的取值范围为 \((8, 24)\)。

当 \(8 < y < 24\) 时：

\[
\begin{aligned}
F_Y(y) &= P\{Y \le y\} = P\{X^2 + 8 \le y\} = P\{X \le \sqrt{y-8}\} \\
&= \int_{0}^{\sqrt{y-8}} \frac{x}{8} dx = \frac{y-8}{16}
\end{aligned}
\]

求导得概率密度：

\[
f_Y(y) = F_Y'(y) = \begin{cases} \frac{1}{16}, & 8 < y < 24 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}
\]

注：此处根据原文解答逻辑整理，原文中 \(f_X(x)\) 具体形式可能有 OCR 误差，但方法为分布函数法。

考查思路：

本题考查连续型随机变量函数分布的"分布函数法"。先求 \(F_Y(y)\) 再求导。

要点重点：

确定 \(Y\) 的取值范围
将 \(Y\) 的事件转化为 \(X\) 的事件
变上限积分求导

例 19. 连续型随机变量函数的分布（\(Y=X^2\)）⚓︎

题目：

设 \(X\) 的概率密度为 \(f_X(x)\)，\(-\infty < x < +\infty\)，求 \(Y=X^2\) 的概率密度。

解答：

当 \(y \le 0\) 时，\(F_Y(y) = 0\)。

当 \(y > 0\) 时：

\[
\begin{aligned}
F_Y(y) &= P\{X^2 \le y\} = P\{-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}\} \\
&= \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f_X(x) dx
\end{aligned}
\]

求导得：

\[
f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}} [f_X(\sqrt{y}) + f_X(-\sqrt{y})], & y > 0 \\ 0, & y \le 0 \end{cases}
\]

考查思路：

本题考查一般性的随机变量函数分布推导，特别是非单调函数 \(Y=X^2\) 的处理。

要点重点：

分段讨论 \(y\) 的范围
注意积分区间为 \([-\sqrt{y}, \sqrt{y}]\)
利用变上限积分求导法则

例 20. 正态分布的线性变换⚓︎

题目：

设随机变量 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，求 \(Y=aX+b (a>0)\) 的概率密度。

解答：

\(X\) 的概率密度为 \(f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)。

\(y = ax+b \implies x = \frac{y-b}{a}\)，\(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{a}\)。

由公式法：

\[
\begin{aligned}
f_Y(y) &= f_X\left(\frac{y-b}{a}\right) \cdot \left| \frac{1}{a} \right| \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma a} e^{-\frac{(\frac{y-b}{a}-\mu)^2}{2\sigma^2}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}(a\sigma)} e^{-\frac{(y-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}}
\end{aligned}
\]

即 \(Y \sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)\)。

考查思路：

本题考查正态分布的线性性质，利用公式法求密度函数。

要点重点：

正态变量的线性变换仍服从正态分布
期望变为 \(a\mu+b\)，方差变为 \(a^2\sigma^2\)
公式法适用条件：函数单调可导

例 21. 标准正态分布的平方（卡方分布）⚓︎

题目：

设 \(X \sim N(0, 1)\)，其概率密度为 \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\)，求 \(Y=X^2\) 的概率密度。

解答：

利用例 19 的结论，此处 \(f_X(x) = \phi(x)\) 为偶函数。

\[
\begin{aligned}
f_Y(y) &= \frac{1}{2\sqrt{y}} [ \phi(\sqrt{y}) + \phi(-\sqrt{y}) ] \\
&= \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y}) \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, \quad y > 0
\end{aligned}
\]

此时称 \(Y\) 服从自由度为 1 的 \(\chi^2\) 分布。

考查思路：

本题考查特定分布（标准正态）函数的分布，引出卡方分布的定义。

要点重点：

利用偶函数性质简化公式
识别 \(\chi^2\) 分布的形式

例 22. 电压概率密度（三角函数变换）⚓︎

题目：

设电压 \(V = A \sin \Theta\)，其中 \(A\) 是一个已知的正常数，相角 \(\Theta\) 是一个随机变量，且有 \(\Theta \sim U(-\pi/2, \pi/2)\)，试求电压 \(V\) 的概率密度。

解答：

\(\Theta\) 的概率密度为 \(f_\Theta(\theta) = \begin{cases} 1/\pi, & -\pi/2 < \theta < \pi/2 \\ 0, & \text{其它} \end{cases}\)。

\(v = A \sin \theta\) 在 \((-\pi/2, \pi/2)\) 上单调，反函数 \(\theta = \arcsin(v/A)\)。

导数 \(\frac{d\theta}{dv} = \frac{1}{\sqrt{A^2 - v^2}}\)。

由公式法，当 \(-A < v < A\) 时：

\[
f_V(v) = f_\Theta(\theta) \left| \frac{d\theta}{dv} \right| = \frac{1}{\pi \sqrt{A^2 - v^2}}
\]

故：

\[
f_V(v) = \begin{cases} \frac{1}{\pi \sqrt{A^2 - v^2}}, & -A < v < A \\ 0, & \text{其它} \end{cases}
\]

考查思路：

本题考查连续型随机变量函数分布的公式法，涉及三角函数及其反函数。

要点重点：

验证函数的单调性
正确计算反函数的导数
确定新变量的取值范围

第 2 章 随机变量及其分布习题全解⚓︎

第一节 离散型随机变量及其分布⚓︎

例 1. 汽车信号灯问题（离散型随机变量分布律）⚓︎

例 2. 袋中取球问题（离散型随机变量分布律）⚓︎

例 3. 确定常数 \(a\)（分布律性质）⚓︎

例 4. 电子元件一级品问题（二项分布）⚓︎

例 5. 射击命中问题（二项分布计算）⚓︎

例 6. 射击命中问题（泊松分布近似）⚓︎

例 7. 设备维修工人配备问题（泊松分布应用）⚓︎

例 8. 奖券中奖问题（几何分布）⚓︎

第二节 连续型随机变量及其分布⚓︎

例 9. 离散型随机变量分布函数⚓︎

例 10. 连续型随机变量概率密度（确定常数）⚓︎

例 11. 连续型随机变量分布函数（确定常数）⚓︎

例 12. 正态分布概率计算⚓︎

例 13. 公共汽车车门高度设计（正态分布应用）⚓︎

例 14. 正态分布区间概率（3\(\sigma\) 原则）⚓︎

例 15. 考生成绩正态分布（参数估计与概率）⚓︎

例 16. VAR (Value at Risk) 问题（正态分布应用）⚓︎

第三节 随机变量函数的分布⚓︎

例 17. 离散型随机变量函数的分布⚓︎

例 18. 连续型随机变量函数的分布（分布函数法）⚓︎

例 19. 连续型随机变量函数的分布（\(Y=X^2\)）⚓︎

例 20. 正态分布的线性变换⚓︎

例 21. 标准正态分布的平方（卡方分布）⚓︎

例 22. 电压概率密度（三角函数变换）⚓︎

第 2 章随机变量及其分布习题全解⚓︎

第一节离散型随机变量及其分布⚓︎

第二节连续型随机变量及其分布⚓︎

第三节随机变量函数的分布⚓︎