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统计学基础

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假设检验⚓︎

  • Null hypothesis
  • 为什么一定在原假设上放等号：因为总要放入一个定值来（和样本/抽样）确定和比较
  • P-value的含义：就是假定原假设是真的，真实情况比样本测出来的情况相等或者更加more extreme的概率。

方差分析 ANOVA⚓︎

Analysis of Variance

  • H_0 : \mu_ 1 = \mu_2 = \mu_3

  • H_1 : At least one \mu is different

  • e.g. Professor rating (X) with Students' score(Y)

Group_1: Rating Excellent(x = 1)

Group_2: Rating Medium(x = 2)

Group_3: Rating Low(x = 3)
  • 他们的 \(\mu\) 是否是相同的？如果相同（接受原假设），说明是否喜欢老师与最终的学生分数无关。（X和Y之间没有关系）
  • 做法：
    • 全Y的方差由：X的方差和组内误差方差解释；如果X的方差解释比误差方差的影响还要小，说明是否喜欢老师与分数无关；
    • 组间误差是否比组内误差小；

F分布⚓︎

  • F 检验：样本标准差的平方，两组数据可以得到两个平方，用X的方差去除以误差的方差（注意下自由度的问题），计算出F的值，就是方差的商
    • variation explained by X;
    • variation explained by errors;
    • \(F = \dfrac{S^{2}_{1}}{S^{2}_{2}}\)
  • 自由度（见下面一个专题）
  • MS：mean square

自由度⚓︎

  • 自由度（Degrees of Freedom）

一种便于计算统计量的解释（statistical measures）⚓︎

  • 经典的“你为什么要n-1！”

  • Population(总量N)

    • E(X) = \dfrac{}{}, 总体参数(parameter)
    • \(\sigma^{2}(x) = \dfrac{}{}\)

  • Sample:

    • 样本，总量\(n\) ，样本统计量：
    • \(\bar{x}\) （x bar）表示样本期望；
    • \(S^{2} (x) = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2 }{n - 1}\)，这里的 n - 1就是自由度；为什么这里的样本方差会和总体方差不同呢？
    • 我们计算这些样本的统计量，实际上是为了估计(estimate)总体的统计量的，我们大多数时候并不知道总体的情况如何；
    • 我们可以采样！一个采样形成一个点估计。样本的方差正是用来估计总体方差的。
    • 问题出现了，如果样本的方差选择用 n 而不是 n - 1，我们常常会低估(underestimate) 总体的方差的真值；如果用 n - 1 就可以纠正这个错误，更加接近真实值；
    • Def: The number of free-moving observations / elements.
      • 对于总体来说，可以有\(N\)个取值；自由度是\(N\)，但是如果我们从中取样之后，计算出给定样本的均值之后，\(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \bar{x}\), 实际上只有\(n - 1\)个值是“自由”的，因为无论选择哪个数，都可以被这\(n - 1\)个数线性表示了。另一个角度说，当样本很大很大( n \to \infty )，N 约等于 N - 1了，严格意义上，此时也不需要考虑自由度了，因为样本就已经变成了整体。
      • ❓那么为什么，在计算均值的时候为什么不需要加上 n - 1: 此时没有任何限制；因为只是一个样本，它确实有n个“自由”的样本个体，所以均值依然是 n 。简单来说，只要你知道了一个样本某类型的均值，那么你就丢失了一个自由度。

一种基于回归分析的解释⚓︎

  • \(y = b_0 + b_1 x + \mu_i\)
  • OLS。先画个散点图。
  • 如果想要求\(b_0, b_1\)，那么我们最少需要几个观测值才能求出这两个值？
    • 至少需要两个点（不然连不成一个直线）
    • 但是，如果只有两个点，此时这两个点都不是“自由”的，因为当且仅当有了这两个点才能确定这个线，这时候其实不是预测，而是“确定”，根本不需要评估关系强度如何（因为你已经具体确定了）。此时的自由度是0。只有有了多于两个点，才能评估这种相关关系的强度(assess the strength of relationship)。这时候的自由度就是1.如果是 n = 4，那么自由度就是 2， 以此类推；也就是和独立变量的个数 x相关，（回归变量个数？number of regressors），\(d.f. = n - (k + 1)\)
    • 如果我们有两个独立变量， \(y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \mu\)，此时是一个回归平面；此时需要的最少的样本数是3（抽象一下，如果只有两个点，连成一个线，那么有无数个面可以过这个线——除非你再确定一个点，让这个平面也过这个点，才能唯一确定一个平面；
    • 拓展：回归分析中 \(R^2\) 情况的分析

\(R^2\) 的解释⚓︎

  • 被模型解释的Y的部分(fraction of variation explained in Y)
  • \(SS_{Total} = \sum (y_i - \bar{y})^2\) = total variation in Y
  • \(SS_{Model} = \sum (\hat{y_i} - \bar{y})^2\) variation in y explained by X
  • SS Error + SS model = SS total ;
  • \(R^2 = \dfrac{SS_{Model}}{SS_{Total}}\)
  • R^2 = 0，意味着无法用X来解释Y；（散点图的Y均值是一条和X轴平行的直线）
  • R^2 = 1，意味着所有的y（的误差）都可以被用X解释；
  • R^2 = 0.8，意味着80%的Y的误差可以用X解释； （coefficient of determination）
    • 皮尔逊相关系数的平方？
    • hat 这个符号就用来表示剔除了误差项，仅仅从x回归得到的y的期望值(expected value)；
  • 如果是多元的，一样，\(y_i = b_0 + b_1x_1+ b_2x_2 + ... + u_i\)
    • \(R^2 = \dfrac{\sum (\hat{y_i} - \bar{y})^2}{\sum (y_i - \bar{y})^2}\)
  • 这时候要回到刚开始的自由度。如果单regressor的情况下，此时有两个观测，自由度是0，此时的R^2 = 1（因为这两个点完全解释了这一条直线！但是这并不好！因为它不自由！）；如果有三个观测，自由度是1，\(R^2\)可能降到\(0.8\)，但是此时的模型更好了，因为有了自由度，对模型关系评价的强度就更高了；

Adjusted \(R^2\) 的解释⚓︎

  • 正如上面展开说的那样，其实\(R^2\)本身是很令人疑惑的，因为过高的\(R^2\)可能说明恰恰是缺少了自由度的。

    • 比如三个点确定一个面，那这个面唯一确定，而不能反映关系

  • more regressors to explain Y, 更多回归变量，即使这两个不相关，总有一部分\(Y\)能被\(X\)所解释；R^2 会变大；

  • more regressors 也意味着自由度越来越低；更低的自由度往往意味着更高的\(R^2\)；
    1. regressors 就是, \(y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2.. + u_i\)，中的\(x\)的个数（也就是2个）
  • 综上2点，不能仅仅看\(R^2\)
  • 所以我们引入了\(adjusted R^2\)的概念，如果1的作用大于2的作用，那么\(\bar{R^2}\) 就会增加，反之减少；意味着，这个adjusted R^2 只在“你加入了一些解释变量，而且这些解释变量的解释力度大于自由度减少带来的解释力度，也就是更好滴提升模型预测能力”的时候才增加；

大数定律⚓︎

  • 大数定律是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其算术平均值就有越高的概率接近期望值。大数定律很重要，因为它“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

中心极限定理⚓︎

  • 当样本足够大的时候，样本的均值会服从正态分布。
    • 是关于\(\bar{x}\)的，也就是从样本总体中抽样出一个样本量足够大的样本 ( n > 30 )，这些样本会有一个均值，这个值也是随机变量；这个变量也是服从正态分布的；
  • 当总体样本服从均值为 \(\mu\)， 标准差为 \(\sigma\) 的分布的时候，当n足够大时，样本均值服从均值为 \mu， 标准为 \(\sigma / \sqrt{n}\)的分布。\(n\)为样本容量；
    • 我们同样把这时 \bar{x} 的标准差（也就是样本的均值的标准差）称作 标准误 (Standard error)
    • 注意了样本标准差不叫标准误，就是标准差；

标准差和标准误的理解⚓︎

  • 方差的作用是描述数据的分散程度（dispersion）
  • 样本的方差要除以（n-1）
  • 为什么有误差：
    • 因为\bar{x}就是为了把它当作总体均值的点估计；
    • 此时\bar{x}的标准差就是对整体均值偏离程度的一种点估计；

总体标准差 \(\sigma\) ｜ 样本标准差 \(S\)｜ 样本的均值的标准差 \(\sigma_{\bar{x}}\)⚓︎

  • 大部分时候的样本的参数都是不可知的，需要用样本的统计量来估计参数，所以，当样本的n足够大(>30)的时候，我们可以认为样本的均值近似于总体的均值；
    • 我们就会用样本的均值来估计总体的均值；
    • 样本均值的标准差 = 总体标准差 / \(\sqrt{}\)样本数量
    • 样本的均值（这个随机变量）的个数是 \(C^{n}_{N}\)

  • 当n足够大的时候我们获得了一种估计总体的方法，但是n如果不够大的时候，该怎么办？

t分布⚓︎

  • 当总体服从正态分布（此时抽样样本服从正态分布），如果抽样的样本数小于30（是一个小样本）的话，此时样本均值的标准差不能用样本的标准差来近似了（不能用S来近似\sigma）。

z-score | z-分布⚓︎

  • 说白了就是均值为0，方差为1的正态分布；
  • \(\mu \pm 1.96 \times \dfrac{S}{\sqrt{n}}\)
  • 在上面所述的情况中，不能用z分布的方法来进行计算了，因为我们不仅不知道总体的标准差，由于数量较小我们也不能用样本的标准差来近似样本均值的标准差；在这种情况下我们就需要用到t-分布；
  • z-score的过程就是，我们首先给定了\(\alpha = 5\%\)，对称的两边各分\(2.5\%\)。此时对应x轴上的数字是多少？怎么求？这个过程就是上面的\(\mu \pm 1.96 \times \dfrac{S}{\sqrt{n}}\)的过程

  • 回到t分布上来，此时不能通过z-score的方法求解那个具体的数值了；
  • t-distribution 均值是0，但是它的方差存在波动