经济订货批量模型⚓︎

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模型建立⚓︎

在采购时，需要确定一份补货订单，采购批量为\(Q\)的物品，为了确定\(Q\)的具体数值，我们假设有以下的输入:
- \(D =\) 产品的年需求量
- \(S =\) 每次订货的固定成本
- \(C =\) 单位成本
- \(h =\) 年库存占有成本占产品成本的比率
假设供应商不提供折扣，无论订货规模多大，每单位物品的成本均为\(C\)，此时库存持有成本是\(H = hc\)，我们采用如下基本假设来构建模型。
- 单位时间内的需求稳定为\(D\)单位；
- 不允许出现短缺，也就是必须通过库存来供应所有需求
- 补货提前期是固定的(初始值为0)
为了最小化总成本，需要考虑如下三点：
1. 年原材料成本 = \(CD\)
2. 订货次数必须满足年需求量\(D\)，给定订货批量\(Q\)，我们有年订货次数 = \(\dfrac{D}{Q}\)
3. 由于每次订货都会有订货成本\(S\)，因此有，年订货成本 = \((\dfrac{D}{Q}) S\)
给定订货批量\(Q\)，可以获得平均库存Q/2，因此年库存持有成本为持有Q/2单位库存一年的成本，也就是: 年库存持有成本 =

\[( \dfrac{Q}{2} ) H  = (\dfrac{Q}{2} )hC\]

\[TC = CD + (\dfrac{D}{Q}) S + (\dfrac{Q}{2} )hC\]

就\(Q\)对总成本求一阶导数并令其为0，最优订货批量被称为经济订货批量(Economic Order Quantity, EOQ)，用\(Q^{*}\)表示。公式为:

\[Q^{*} = \sqrt{\dfrac{2DS}{hC}}\]

对于上述公式，年库存持有成本比率\(h\)和需求\(D\)的时间应该保持一致，对于订货批量\(Q^{*}\)，系统中的周转库存为\(Q^{*} /2\)，单位产品在系统内的流动时间为\(Q^{*} / (2D)\)，随着最优订货批量的增长，周转库存和流动时间也会增加，最优订货频率\(n^{*}\)为:

\[n^{*} = \dfrac{D}{Q^{*} } = \sqrt{\dfrac{DhC}{2S}}\]

A 公司对某电脑的需求为1000台，每次订购的固定成本、运输和收货成本为4000美元，每台电脑的价格是500美元。零售商库存持有成本是20%，计算商店经理每次订货应该订购多少电脑？

年需求 = 1000 \(\times\) 12 = 12000；每批次订货成本\(S = 4000\)，每台电脑的单位成本\(C\) = 500，h = 0.2，那么按照公式可以算出

\(Q^{*} =\sqrt{ \dfrac{2 * 12000 * 4000}{0.2 * 500} } = 980\)

此时的周转库存是980 /2 = 490

此时的年订货次数 = 12000 / 980 = 12.24

年订货成本+库存持有成本（套前面的公式） = 97980。

平均流动时间 = \(Q^{*} / (2D) = 490 / 12000 = 0.041\) Year

如果我们把订货批量设置在1100单位（而不是980），此时的年成本会从97980增加到98636，虽然和最优订货批量相比，这个订单批量超过了10%，但是总成本仅增加了0.67%。在现实中可以这样理解：如果CD的经济订货批量是6.5个单位，制造商很可能不愿意运送半单位的货物从而提出收取额外费用，此时我们把批量适度增加，这种改变几乎不影响库存相关成本，但是可以节省制造商提供半箱货物运输而收取的额外费用。
- 要点✅ ：在经济订货批量附近，订货总成本和库存持有成本相对稳定，在很多时候订购一个接近经济订货批量的适当批量，比完全按照经济批量来更为划算
- 要点✅ ：如果需求增加\(k\)倍，那么最优订货批量将增加\(\sqrt{k}\)倍，年订货次数也增加\(\sqrt{k}\)倍，周转库存的流动时间则减少为原来的\(\dfrac{1}{ \sqrt{k} }\)
- 要点✅：如果想要把最优订货批量减少为原来的\(1/k\)，那么固定订货成本必须减少为原来的\(1/ k^{2}\)