运营管理：排队论⚓︎
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排队论的几个基本概念⚓︎
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到达率(
Arrival Rate): 在一段时间内顾客到达服务地点的速度，一般用到达间隔时间来衡量； -
服务时间(
Service Time): 描述服务顾客所需时间的情况，或者是单位时间内可以服务的顾客的数量。 -
排队规则(
Queue Discipline): 指等待队列中顾客接受服务的顺序。通常是先到先服务(FCFS)，也有可能是后到先服务(FCLS)或者遵循其他优先级规则。本笔记都是先到先服务的规则。 -
通道(
Channels)：指面向顾客并行的服务窗口的数量。比如🏦有多少个服务窗口，邮局有多少办事员窗口等。 阶段(Phases):指每个顾客需要完成服务一次经历的不同服务阶段。比如在装配车间，一个产品需要先后经过多个阶段的组装才能变成产品，在🏥办理手续，需要先到接待室再到门诊部门等。
几个常用的排队模型⚓︎
一、基本的单通道类型(M/M/1)
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模型假设如下：
- 到达率（到达间隔时间）服从指数分布，或者说，顾客的到达是一个泊松过程(Poisson Process)
- 服务时间服从指数分布
- 先到先服务的服务规则
- 队列长度无限
- 客户源是无限的
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排队模型用六个符号表示，在符号之间用斜线隔开，即 X /Y / Z / A/ B /C 。
- 第一个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布；
- 第二个符号Y 表示服务时间的分布；
- 第三个符号 Z 表示服务台数目；
- 第四个符号 A 是系统容量限制；
- 第五个符号 B 是 顾客源数目；第六个符号C 是服务规则，如先到先服务 FCFS，后到先服务 LCFS 等。
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约定，如略去后三项，即指 X /Y / Z / ∞ / ∞ / FCFS的情形。我们只讨论先到先服务 FCFS 的情形，所以略去第六项。 这里的M是指数分布的意思，M是 Markov 的字头，因为指数分布具有无记忆性，即马尔可夫(Markov)性；
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例如， M / M /1表示相继到达间隔时间为指数分布、服务时间为指数分布、单服务台的排队系统；
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我们用下面几个参数表示和计算其运营水平：
- \(\lambda\) : 平均到达率
- \(\mu\) : 平均服务率
- \(n\) : 系统中的客户数量（包括等待的和正在被服务的）
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我们可以给出：
系统中没有客户的可能性是\(P_0 = 1 - \frac{\lambda}{\mu}\)-
系统中有\(n\)个客户的概率是\(P_n = (\dfrac{\lambda }{\mu} )^n \times P_0\)
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系统中的平均客户数是\(L = \dfrac{\lambda}{\mu - \lambda}\)
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队列（注意是指正在排队的人）中的平均客户数是\(L_q = \dfrac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)}\)
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客户在系统中花费的平均时间（包括等待+服务时间）是\(W = \dfrac{L}{\lambda}\)
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客户的平均等待时间是：\(W_q = \dfrac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}\)
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二、多通道模型(M/M/s模型)
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在模型一的基础上，假设等待系统中有多个服务人员，譬如机场登机口。只要有空位，顾客就接受服务。此时模型里的c就表示服务台（服务人员）的数量。我们引入一些新数值，并修改模型一的方法来描述这些情况。譬如我们设\(s\)为服务窗口的数量。
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\(P_0\) : 系统中没有客户的概率 \(= \dfrac{1}{(\left[ \sum \limits^{s - 1}_{n = 0}{\dfrac{1}{n!}(\dfrac{\lambda}{\mu})^{n} } \right] + \dfrac{1}{s!}(\dfrac{\lambda}{\mu})^s(\dfrac{s\mu}{s\mu - \lambda}))}\)
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\(L\) : 系统中平均顾客数 \(= \dfrac{\lambda\mu(\lambda / \mu)^s}{(s-1)!(s\mu - \lambda)^2} P_0 + \dfrac{\lambda}{\mu}\)
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\(L\) : 排队等待的顾客数 \(= L - \dfrac{\lambda}{\mu}\)
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\(P_{\omega}\) : 顾客到达时必须等待的概率 = \(\dfrac{1}{s!}(\dfrac{\lambda}{\mu})^s \dfrac{s\mu}{s\mu - \lambda}P_0\)
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\(W = L / \lambda\)
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\(W_q = W - \frac{1}{\mu}\)